Контрольные вопросы и задания, 7 класс, алгебра Макарычев

§1. Выражения

1. Приведите примеры рациональных чисел. Рациональное число — то, что можно записать в виде дроби $\dfrac{m}{n}$, где $m$ — целое, $n$ — натуральное. Примеры: $5$, $-3$, $\dfrac{2}{7}$, $0{,}4$, $-1{,}25$.

2. Приведите пример числового выражения и выражения с переменными. Числовое: $3+5\cdot2$. С переменными: $2x-7$.

3. Имеет ли смысл выражение $\dfrac{36}{2\cdot16-32}$; $\dfrac{42-6\cdot7}{37-11}$? Выражение не имеет смысла, если знаменатель равен нулю. В первом: $2\cdot16-32=0$ — выражение смысла не имеет. Во втором: $37-11=26\ne0$ — имеет смысл, и его значение $\dfrac{42-42}{26}=0$.

4. Сравните значения выражений $x+3$ и $3x$ при $x=-4$; $1{,}5$; $5$. При $x=-4$: $x+3=-1$, $3x=-12$, значит $x+3>3x$. При $x=1{,}5$: оба равны $4{,}5$. При $x=5$: $x+3=8$, $3x=15$, значит $x+3<3x$.

5. Приведите пример двойного неравенства и прочитайте его. $-2<x<5$ читается: «$x$ больше $-2$ и меньше $5$» (то есть $x$ лежит между $-2$ и $5$).

6. Как читаются знаки $\ge$ и $\le$? Какое неравенство называется строгим и каким — нестрогим? $\ge$ читается «больше или равно», $\le$ — «меньше или равно». Строгое неравенство использует только знаки $<$ или $>$ (например, $x>3$), нестрогое — знаки $\ge$ или $\le$ (например, $x\ge3$).

§2. Свойства действий над числами. Тождества

1. Сформулируйте переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения, распределительное свойство умножения. Переместительное: $a+b=b+a$, $ab=ba$. Сочетательное: $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(ab)c=a(bc)$. Распределительное: $a(b+c)=ab+ac$.

2. Какие выражения называются тождественно равными? Те, что принимают одинаковые значения при любых допустимых значениях входящих в них переменных. Пример: $2(x+3)$ и $2x+6$.

3. Какое равенство называется тождеством? Равенство, верное при любых допустимых значениях переменных. Пример: $a(b+c)=ab+ac$.

4. Какие слагаемые называют подобными? Приведите подобные слагаемые в $-5x+4y-y-3x$. Подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью. «Привести подобные» значит сложить их коэффициенты:

$$-5x+4y-y-3x=(-5x-3x)+(4y-y)=-8x+3y$$

§3. Уравнения с одной переменной

1. Дайте определение корня уравнения. Является ли число 7 корнем уравнений $6x=42$; $0x=11$; $(16-2\cdot8)x=0$? Корень уравнения — значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство. $6\cdot7=42$ — верно, $7$ корень. $0\cdot7=11$ — неверно (у этого уравнения корней нет вовсе). $(16-2\cdot8)\cdot7=0\cdot7=0$ — верно, но это уравнение $0x=0$, и корнем является любое число, не только $7$.

2. Что значит решить уравнение? Решите $6x=-12$; $x-2x\cdot6=0$; $5x-4x=6+x$. Решить уравнение — найти все его корни или доказать, что их нет.

$$6x=-12 \ \Rightarrow \ x=-2$$ $$x-12x=0 \ \Rightarrow \ -11x=0 \ \Rightarrow \ x=0$$ $$x=6+x \ \Rightarrow \ 0=6 \ \text{— неверно, корней нет}$$

3. Какие уравнения называются равносильными? Уравнения с одинаковыми корнями (или оба без корней). Свойства: слагаемое можно переносить из одной части в другую, меняя знак; обе части можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. Пример: $5x-1=3$ равносильно $5x=4$.

4. Дайте определение линейного уравнения с одной переменной. Уравнение вида $ax=b$, где $a$ и $b$ — числа, $x$ — переменная. Пример: $3x=9$.

5. В каком случае уравнение $ax=b$ имеет единственный корень, бесконечно много корней или не имеет корней? Если $a\ne0$ — единственный корень $x=\dfrac{b}{a}$. Если $a=0$ и $b=0$ — корень любое число. Если $a=0$ и $b\ne0$ — корней нет.

§4. Функции

1. Перечислите виды числовых промежутков. Отрезок $[a;b]$, интервал $(a;b)$, полуинтервалы $[a;b)$ и $(a;b]$, лучи $[a;+\infty)$ и $(-\infty;a]$, открытые лучи $(a;+\infty)$ и $(-\infty;a)$, вся числовая прямая.

2. Как найти расстояние между двумя точками координатной прямой? Расстояние между точками с координатами $a$ и $b$ равно $|a-b|$.

3. Приведите пример функциональной зависимости, укажите независимую и зависимую переменные. $y=2x+1$: $x$ — независимая переменная (аргумент), $y$ — зависимая (функция). Область определения — все значения $x$, при которых выражение имеет смысл.

4. На примере $y=6x+12$ объясните, как найти значение функции по значению аргумента и наоборот. Чтобы найти значение функции — подставить значение $x$ в формулу. Чтобы найти аргумент по значению функции — решить уравнение $6x+12=y$ относительно $x$.

5. Что называется графиком функции? Множество точек координатной плоскости, абсциссы которых — значения аргумента, а ординаты — соответствующие им значения функции.

6. Как по графику найти значение функции и значение аргумента? Чтобы найти значение функции по значению аргумента — найти на графике точку с этой абсциссой и посмотреть её ординату. Чтобы найти аргумент по значению функции — найти точки графика с этой ординатой и посмотреть их абсциссы.

§5. Прямая пропорциональность и линейная функция

1. Сформулируйте определение прямой пропорциональности. Функция вида $y=kx$, где $k\ne0$ — постоянное число (коэффициент пропорциональности).

2. Что является графиком прямой пропорциональности? Прямая, проходящая через начало координат. Строится по двум точкам: $(0;0)$ и любой другой, например $(1;k)$.

3. Как расположен график $y=kx$ при $k>0$ и при $k<0$? При $k>0$ — в I и III координатных четвертях. При $k<0$ — во II и IV четвертях.

4. Дайте определение линейной функции. Функция вида $y=kx+b$, где $k$ и $b$ — числа.

5. Что является графиком линейной функции? Прямая. Строится по двум точкам, например по точкам пересечения с осями или по двум произвольным значениям $x$.

6. Когда графики двух линейных функций пересекаются, а когда параллельны? Пересекаются, если угловые коэффициенты разные ($k_1\ne k_2$). Параллельны, если угловые коэффициенты равны, а свободные члены различаются ($k_1=k_2$, $b_1\ne b_2$).

7. В какой точке график $y=kx+b$ пересекает ось ординат? В точке $(0;b)$.

8. В каких координатных четвертях расположены графики $y=6x$; $y=0{,}5x+4$; $y=3x-1$; $y=-3$? $y=6x$ — прямая пропорциональность с $k=6>0$: I и III четверти. $y=-3$ — горизонтальная прямая ниже оси абсцисс: III и IV четверти. Для $y=0{,}5x+4$ и $y=3x-1$ (наклонные прямые со сдвигом) четверти удобнее находить по точкам пересечения с осями: $y=0{,}5x+4$ пересекает оси в $(0;4)$ и $(-8;0)$, проходит через I, II и III четверти; $y=3x-1$ пересекает оси в $(0;-1)$ и $(\frac13;0)$, проходит через I, III и IV четверти.

§6. Степень с натуральным показателем

1. Сформулируйте определение степени числа с натуральным показателем. $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n}$, $a$ — основание, $n$ — показатель степени. Пример: $2^3=8$, основание $2$, показатель $3$.

2. Сформулируйте основное свойство степени.

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

Доказывается раскрытием произведения одинаковых множителей: слева $m+n$ множителей $a$, столько же — справа.

3. Правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Представьте в виде степени $12\cdot12^3\cdot12^6$.

$$12\cdot12^3\cdot12^6=12^{1+3+6}=12^{10}$$

4. Правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Представьте в виде степени $5{,}7^6:5{,}7^3$.

$$5{,}7^6:5{,}7^3=5{,}7^{6-3}=5{,}7^3$$

5. Дайте определение степени числа с нулевым показателем. $a^0=1$ при $a\ne0$.

6. Правила возведения в степень произведения и степени. Представьте в виде степени $(5ab)^4$; $(a^3)^6$; $y^4\cdot(y^2)^6$.

$$(ab)^n=a^nb^n \qquad (a^m)^n=a^{mn}$$ $$(5ab)^4=625a^4b^4 \qquad (a^3)^6=a^{18} \qquad y^4\cdot(y^2)^6=y^4\cdot y^{12}=y^{16}$$

§7. Одночлены

1. Приведите пример одночлена стандартного вида. $5a^2b$ — числовой множитель на первом месте, каждая переменная входит один раз в виде степени.

2. Представьте в стандартном виде $5ab^2\cdot(-3a^4b)$ и укажите коэффициент.

$$5ab^2\cdot(-3a^4b)=-15a^5b^3$$

Коэффициент $-15$.

3. Дайте определение степени одночлена. Приведите пример одночлена пятой степени. Степень одночлена — сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Пример: $2x^3y^2$ (степень $3+2=5$).

4. Сформулируйте свойства функции $y=x^2$. Чётная функция ($y(-x)=y(x)$), график — парабола с вершиной в начале координат, ветви направлены вверх, симметрична относительно оси Оу, $y\ge0$ при любом $x$.

5. Сформулируйте свойства функции $y=x^3$. Нечётная функция ($y(-x)=-y(x)$), график — кубическая парабола, симметричная относительно начала координат, возрастает на всей числовой прямой.

§8. Многочлены

1. Дайте определение многочлена. Многочлен — сумма одночленов.

2. Приведите $5a^2x+ax^2-4ax\cdot\dfrac{1}{2}x$ к стандартному виду.

$$5a^2x+ax^2-2ax^2=5a^2x-ax^2$$

3. Что называется степенью многочлена? Приведите пример многочлена третьей степени. Наибольшая из степеней одночленов, входящих в многочлен. Пример: $x^3-2x+1$.

4. Составьте сумму и разность многочленов $x^2-3y+6$ и $-x^2+3y+1$.

$$(x^2-3y+6)+(-x^2+3y+1)=7$$ $$(x^2-3y+6)-(-x^2+3y+1)=2x^2-6y+5$$

5. В многочлене $5x-x+4$ заключите в скобки два последних члена со знаком «плюс» и со знаком «минус». а) $5x+(-x+4)$; б) $5x-(x-4)$.

§9. Умножение одночлена на многочлен

1. Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен. Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить одночлен на каждый член многочлена и сложить результаты.

2. Преобразуйте в многочлен $ab\cdot(a+4b)$ и $xy\cdot(x^2+xy+y^2)$.

$$ab(a+4b)=a^2b+4ab^2 \qquad xy(x^2+xy+y^2)=x^3y+x^2y^2+xy^3$$

3. Что называют разложением многочлена на множители? Преобразование многочлена в произведение многочленов или одночлена и многочлена.

4. Объясните на примере $2xy-6x^2$, как выполняется вынесение общего множителя за скобки.

$$2xy-6x^2=2x(y-3x)$$

Общий множитель $2x$ выносится за скобку, в скобках остаётся результат деления каждого члена на этот множитель.

§10. Умножение многочлена на многочлен

1. Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен. Нужно умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого и сложить полученные произведения.

2. Представьте в виде многочлена произведение $(x-2y)(xy+4)$.

$$(x-2y)(xy+4)=x^2y+4x-2xy^2-8y$$

3. На примере $ab-2b+5a-10$ объясните разложение способом группировки.

$$ab-2b+5a-10=b(a-2)+5(a-2)=(a-2)(b+5)$$

Слагаемые группируются попарно так, чтобы в каждой паре появился общий множитель, а затем этот множитель (уже скобка) выносится за скобки ещё раз.

§11. Формулы квадрата суммы и разности

1. Напишите формулу квадрата суммы и докажите её.

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Доказательство: $(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$.

2. Напишите формулу квадрата разности и докажите её.

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

Доказательство аналогично, через $(a-b)(a-b)$.

3. Приведите пример трёхчлена, представимого в виде квадрата суммы. $4x^2+4x+1=(2x+1)^2$.

4. Приведите пример трёхчлена, представимого в виде квадрата разности. $9x^2-6x+1=(3x-1)^2$.

5. Напишите формулу куба суммы. Возведите в куб $a+2b$.

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$ $$(a+2b)^3=a^3+6a^2b+12ab^2+8b^3$$

6. Напишите формулу куба разности. Возведите в куб $3x-y$.

$$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$ $$(3x-y)^3=27x^3-27x^2y+9xy^2-y^3$$

§12. Разность квадратов. Сумма и разность кубов

1. Чему равно произведение разности двух выражений и их суммы?

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$

Доказывается раскрытием скобок: $a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2$.

2. Чему равна разность квадратов двух выражений?

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$

3. Напишите формулу суммы кубов и докажите её.

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

Доказательство — раскрытием правой части: $a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3$.

4. Напишите формулу разности кубов и докажите её.

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

5. Разложите на множители $16t^2-1$; $p^3+8$; $m^3-27$.

$$16t^2-1=(4t-1)(4t+1)$$ $$p^3+8=(p+2)(p^2-2p+4)$$ $$m^3-27=(m-3)(m^2+3m+9)$$

§13. Преобразование целых выражений

1. Приведите пример целого выражения и выражения, не являющегося целым. Целое: $3x^2-5x+1$ (только сложение, вычитание, умножение, возведение в степень). Не целое: $\dfrac{1}{x}+3$ (есть деление на переменную).

2. Какие действия и в каком порядке нужны, чтобы представить $4x(2-x)^2+(x^2-4)(x+4)$ в виде многочлена? Сначала раскрыть $(2-x)^2$ по формуле квадрата разности и умножить результат на $4x$; затем раскрыть $(x^2-4)(x+4)$ (это разность квадратов, умноженная на линейный множитель, — можно раскрыть напрямую почленно); после этого сложить оба многочлена и привести подобные слагаемые.

3. Какие способы разложения многочленов на множители вам известны? Вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, формулы сокращённого умножения (квадрат суммы/разности, разность квадратов, сумма/разность кубов).

§14. Системы линейных уравнений с двумя переменными

1. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. Уравнение вида $ax+by=c$. Пример: $2x+3y=6$.

2. Что называется решением уравнения с двумя переменными? Является ли пара $x=7$, $y=3$ решением $2x+y=17$? Решение — пара значений переменных, обращающая уравнение в верное равенство. Проверка: $2\cdot7+3=17$ — верно, значит пара является решением.

3. Что является графиком уравнения $ax+by=c$ (где $a\ne0$ или $b\ne0$)? Прямая.

4. Что называется решением системы уравнений с двумя переменными? Что значит решить систему? Решение системы — пара значений переменных, обращающая в верные равенства сразу оба уравнения. Решить систему — найти все её решения или доказать, что их нет.

5. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными? Одно решение, бесконечно много решений или ни одного — в зависимости от взаимного расположения графиков (пересекаются, совпадают или параллельны).

§15. Способы решения систем уравнений

1. Объясните на примере, как решают систему способом подстановки. Из одного уравнения выражают одну переменную через другую, подставляют полученное выражение во второе уравнение, решают получившееся уравнение с одной переменной, а затем находят вторую переменную:

$$\begin{cases}x+y=7\\2x-3y=5\end{cases} \ \Rightarrow \ x=7-y \ \Rightarrow \ 2(7-y)-3y=5 \ \Rightarrow \ y=-1{,}8, \ x=8{,}8$$

2. Объясните на примере, как решают систему способом сложения. Коэффициенты при одной из переменных уравнивают по модулю (умножая уравнения на подходящие числа), затем уравнения складывают или вычитают почленно, чтобы одна переменная сократилась:

$$\begin{cases}3x+y=-25\\x-2y=1\end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases}3x+y=-25\\3x-6y=3\end{cases} \ \Rightarrow \ 7y=-28 \ \Rightarrow \ y=-4, \ x=-7$$

§16. Системы линейных уравнений — практика

Два примера на оба способа решения систем, разобранные по шагам.

Пример 1 — способ подстановки.

$$\begin{cases}x+y=7\\2x-3y=5\end{cases}$$

Выражаем $x$ из первого уравнения: $x=7-y$. Подставляем во второе: $2(7-y)-3y=5$.

$$14-2y-3y=5 \ \Rightarrow \ -5y=-9 \ \Rightarrow \ y=-1{,}8$$

Подставляем найденное $y$ в $x=7-y$: $x=7-(-1{,}8)=8{,}8$. Ответ: $x=8{,}8$, $y=-1{,}8$.

Пример 2 — способ сложения.

$$\begin{cases}3x+y=-25\\x-2y=1\end{cases}$$

Уравниваем коэффициенты при $x$: умножаем второе уравнение на $3$.

$$\begin{cases}3x+y=-25\\3x-6y=3\end{cases}$$

Вычитаем второе из первого: $7y=-28$, откуда $y=-4$. Подставляем в первое уравнение: $x-2\cdot(-4)=1 \ \Rightarrow \ x=-7$. Ответ: $x=-7$, $y=-4$.

Соседние страницы

Учебник целиком · Контрольные работы · Самостоятельные работы · ГДЗ по алгебре · ГДЗ онлайн