Номограмма безразмерной температуры на поверхности шара

Номограмма безразмерной температуры на поверхности шара применяется в задачах нестационарной теплопроводности для расчета нагрева или охлаждения сферических тел. Значение относительной температуры $\theta_s$ определяется по значениям критерия Био $Bi = \alpha R / \lambda$ и критерия Фурье $Fo = a t / R^2$. По графику находят отношение разности температур к начальному температурному напору, что избавляет от сложного суммирования бесконечных рядов при проведении инженерных расчетов.

$\theta_s = \frac{T_s - T_f}{T_0 - T_f} = f(Bi, Fo)$

Разбор по случаям

Примеры

Расчет температуры поверхности. Стальной шар радиусом $R = 0{,}05\text{ м}$ с начальной температурой $T_0 = 800^\circ\text{C}$ охлаждается в среде с $T_f = 20^\circ\text{C}$. Для заданного времени рассчитываем критерий Фурье $Fo = 0{,}4$ и критерий Био $Bi = 2{,}0$. По номограмме находим значение безразмерной температуры $\theta_s = 0{,}35$.

Настоящая температура поверхности определяется как $T_s = T_f + \theta_s (T_0 - T_f) = 20 + 0{,}35 \cdot 780 = 293^\circ\text{C}$.

Определение времени охлаждения. Медный шар охлаждается до безразмерной температуры поверхности $\theta_s = 0{,}1$ при постоянном критерии Био $Bi = 1{,}0$. По графической зависимости определяем требуемое значение критерия Фурье $Fo = 1{,}2$. Зная температурный коэффициент теплопроводности материала $a$ и радиус сферы $R$, рассчитываем продолжительность процесса по формуле $t = Fo \cdot R^2 / a$, что дает точное время полного охлаждения.

Определение коэффициента теплоотдачи. Стальной шар радиусом $R = 0.05$ м с коэффициентом теплопроводности $\lambda = 40$ Вт/(м·К) и температуропроводностью $a = 10^{-5}$ м²/с охлаждается в течение $t = 250$ с.

Критерий Фурье равен $Fo = a t / R^2 = 10^{-5} \cdot 250 / 0.0025 = 1.0$.

Заданная относительная температура поверхности составляет $\theta_s = 0.35$. По номограмме безразмерной температуры поверхности шара для $Fo = 1.0$ и $\theta_s = 0.35$ определяем значение критерия Био $Bi = 2.0$.

Искомый коэффициент теплоотдачи поверхности рассчитывается по формуле $\alpha = Bi \cdot \lambda / R$.

Подставляя значения, получаем $\alpha = 2.0 \cdot 40 / 0.05 = 1600$ Вт/(м²·К).

Данное значение позволяет точно рассчитать требуемую скорость омывания шара теплоносителем в охладительной установке. Это обеспечивает соблюдение технологического регламента термообработки.

Частые ошибки

• Использование радиуса вместо определяющего размера диаметра при вычислении критериев Био и Фурье.
• Путаница между безразмерной температурой в центре шара и температурой на его поверхности.
• Считывание значений по номограмме при критерии Фурье меньше 0,1 без учета высших членов ряда.

Коротко

Номограмма безразмерной температуры на поверхности шара служит удобным инструментом для оперативного решения задач нестационарной теплопроводности. Графический подход с использованием критериев $Bi$ и $Fo$ позволяет определять текущую температуру поверхности или время процесса без трудоемких математических вычислений.