Формула интерполяции для определения высоты точки в геодезии

Формула интерполяции для определения высоты точки в геодезии применяется при работе с топографической картой. Если точка лежит между горизонталями с отметками H_1 и H_2, её отметка рассчитывается по пропорциональному заложению. Для этого измеряют кратчайшее расстояние от младшей горизонтали до точки и делят его на расстояние между двумя соседними горизонталями. В геодезии интерполяция высоты точки основывается на допущении о равномерном уклоне местности между горизонталями.

$H_X = H_1 + \frac{d}{D} \cdot h$

Разбор по случаям

Примеры

Интерполяция от младшей горизонтали. Дано: отметка младшей горизонтали $H_1 = 150.0$ м, высота сечения $h = 2.5$ м. Полное заложение между соседними изолиниями на карте $D = 10.0$ мм, а расстояние от младшей изолинии до точки $d = 4.0$ мм.

Вычисляем превышение: $\Delta h = \frac{4.0}{10.0} \cdot 2.5 = 1.0$ м.

Искомая интерполяция высоты точки дает результат: $H_X = 150.0 + 1.0 = 151.0$ м.

Отсчет от старшей горизонтали. Дано: отметка старшей горизонтали $H_2 = 210.0$ м, сечение $h = 5.0$ м, заложение $D = 20.0$ мм. Расстояние от точки до старшей изолинии $d_2 = 6.0$ мм.

Находится интерполяция высоты точки вычитанием доли превышения: $H_X = 210.0 - \frac{6.0}{20.0} \cdot 5.0 = 210.0 - 1.5 = 208.5$ м.

Ответ: отметка точки равна $208.5$ м.

Интерполяция между двумя пикетами. На профиле местности между пикетами $A$ и $B$ требуется определить высоту промежуточной точки $X$. Известна геодезическая отметка начального пикета $H_A = 145{,}20$ м и отметка конечного пикета $H_B = 148{,}80$ м. Полное горизонтальное проложение между ними составляет $D = 80$ м. Расстояние от точки $A$ до точки $X$ равно $d = 30$ м.

Расчет выполняется по формуле пропорциональной интерполяции $H_X = H_A + (H_B - H_A) \cdot \frac{d}{D}$.

Разность высот между пикетами равна $h = 3{,}60$ м.

Приращение высоты на заданном интервале составляет $3{,}60 \cdot \frac{30}{80} = 1{,}35$ м.

Искомая высотная отметка точки $X$ равна $145{,}20 + 1{,}35 = 146{,}55$ м.

Частые ошибки

• Измерение расстояний на карте не по линии ската, а под произвольным углом к горизонталям.
• Прибавление рассчитанной поправки к отметке старшей горизонтали вместо ее вычитания.
• Использование разных единиц измерения для заложения до точки и полного заложения между горизонталями.

Коротко

Правильно примененная формула интерполяции для определения высоты точки в геодезии позволяет с высокой точностью находить отметки элементов рельефа между горизонталями. Грамотно выполненная интерполяция высоты точки гарантирует корректность составления профилей местности и решения инженерных задач.