Как найти среднюю температуру

Школьники часто интересуются тем, как найти среднюю температуру воздуха за определенный временной интервал на уроках географии или физики. Для этого необходимо сложить все зафиксированные значения температуры за день, месяц или год, а затем разделить полученную сумму на общее число измерений. При равномерных наблюдениях средняя температура рассчитывается как среднее арифметическое. Если же интервалы времени между проведенными замерами различны, используется формула среднего взвешенного значения.

$T_{avg} = \frac{\sum_{i=1}^{n} T_i}{n}$

Разбор по случаям

Примеры

Расчет среднесуточной температуры. Дано: замеры температуры за сутки составили $+12^\circ\text{C}$ в 6:00, $+22^\circ\text{C}$ в 12:00, $+18^\circ\text{C}$ в 18:00 и $+12^\circ\text{C}$ в 24:00.

Решение: найдем сумму значений $12 + 22 + 18 + 12 = 64^\circ\text{C}$.

Разделим полученную сумму на число замеров $n = 4$.

Получаем $T_{avg} = \frac{64}{4} = 16^\circ\text{C}$.

Ответ: среднесуточная температура равна $+16^\circ\text{C}$.

Тепловое смешивание в физике. Дано: смешали воду массой $m_1 = 2\text{ kg}$ при $T_1 = 20^\circ\text{C}$ и воду массой $m_2 = 3\text{ kg}$ при $T_2 = 70^\circ\text{C}$.

Решение: используем формулу теплового баланса $T_{avg} = \frac{m_1 T_1 + m_2 T_2}{m_1 + m_2}$.

Подставляем данные: $T_{avg} = \frac{2 \cdot 20 + 3 \cdot 70}{2 + 3} = \frac{40 + 210}{5} = \frac{250}{5} = 50^\circ\text{C}$.

Ответ: установившаяся средняя температура смеси составляет $50^\circ\text{C}$.

Непрерывное изменение температуры. В течение отрезка времени от $t_1 = 0$ до $t_2 = 4$ часов температура воздуха изменялась по известному линейному закону $T(t) = 20 + 2t$.

Для расчета среднее значение определяется интегральной формулой $T_{avg} = \frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2} T(t) dt$.

Подставив исходные данные, получаем выражение $T_{avg} = \frac{1}{4 - 0} \int_{0}^{4} (20 + 2t) dt$.

Сначала вычисляем первообразную заданной функции: $F(t) = 20t + t^2$.

Находим значение первообразной на верхнем пределе интегрирования $F(4) = 20 \cdot 4 + 4^2 = 80 + 16 = 96$.

На нижнем пределе $F(0) = 0$. Разность значений составляет $96 - 0 = 96$. Разделив полученный результат на длительность временного интервала $4$ часа, находим $96 / 4 = 24$. Таким образом, средняя температура за рассматриваемый период равняется 24 градусам.

Частые ошибки

• Сложение отрицательных и положительных температур без учета знака минус приводит к неверному результату.
• Деление суммы значений на неправильное количество измерений искажает итоговый показатель.
• Использование простого среднего арифметического вместо среднего взвешенного при неравных интервалах времени между замерами дает ошибку.

Коротко

В учебной программе подробно разбирается, как найти среднюю температуру с помощью математического усреднения зафиксированных показаний. Главное — правильно сложить все полученные данные с учетом их знаков и разделить на общее количество проведенных измерений.