Элементарная ячейка кристаллической решетки свинца

Элементарная ячейка кристаллической решетки свинца относится к гранецентрированному кубическому типу, который сокращенно обозначают как ГЦК. В вершинах кубической структуры расположены восемь атомов, каждый из которых одновременно принадлежит восьми соседним элементарным ячейкам. В центрах шести граней находится по одному атому, разделяемому двумя смежными ячейками. В результате на одну кубическую ячейку приходится ровно четыре принадлежащих ей атома свинца. Координационное число данной кристаллической структуры составляет двенадцать, а наибольший коэффициент плотности упаковки равен семидесяти четырем процентам.

$N = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 4$

Разбор по случаям

Примеры

Расчет периода решетки. Дано: атомный радиус свинца $R = 0{,}175\text{ нм}$. Найти параметр кубической решетки $a$. Решение: ГЦК-ячейка свинца имеет геометрию, где атомы соприкасаются вдоль диагонали грани $a\sqrt{2} = 4R$. Выразим период кристаллической решетки по формуле $a = 2\sqrt{2}R$.

Подставим имеющиеся числовые данные в формулу: $a = 2 \cdot 1{,}4142 \cdot 0{,}175\text{ нм} \approx 0{,}495\text{ нм}$.

Ответ: параметр решетки свинца равен $0{,}495\text{ нм}$.

Расчет массы ячейки. Дано: молярная масса свинца $M = 0{,}207\text{ кг/моль}$, постоянная Авогадро $N_A = 6{,}02 \cdot 10^{23}\text{ моль}^{-1}$.

Найти абсолютную массу одной кубической ячейки $m$. Решение: гранецентрированная кубическая ячейка свинца содержит ровно $N = 4$ атома. Полная масса элементарной ячейки рассчитывается по формуле $m = \frac{N \cdot M}{N_A}$.

Подставим значения: $m = \frac{4 \cdot 0{,}207}{6{,}02 \cdot 10^{23}} \approx 1{,}375 \cdot 10^{-24}\text{ кг}$.

Ответ: масса одной ячейки составляет $1{,}375 \cdot 10^{-24}\text{ кг}$.

Частые ошибки

• Путаница между объемоцентрированной и гранецентрированной кубической решеткой при подчете числа атомов.
• Ошибка в расчете периода решетки из-за неправильного учета геометрии диагонали грани куба.
• Использование некорректного значения координационного числа без учета ближайших соседей на гранях.

Коротко

Таким образом, элементарная ячейка кристаллической решетки свинца представляет собой плотноупакованную гранецентрированную кубическую структуру с четырьмя атомами и координационным числом двенадцать. Знание геометрических параметров и формул ячейки позволяет выполнять точные расчеты плотности и радиуса атома в задачах физики твердого тела.