Формула М. А. Саверина

Формула М. А. Саверина применяется в деталировании машин для определения касательных напряжений и подбора диаметра проволоки винтовых пружин сжатия и растяжения. Она учитывает не только кручение, но и прямой сдвиг вместе с кривизной витков через поправочный коэффициент. Применение метода позволяет вычислить минимально допустимый диаметр проволоки по заданным силу сжатия, среднему диаметру пружины и допускаемым напряжениям материала, обеспечивая прочность и надежность конструкции при статических и циклическом нагружениях.

$\tau = k \frac{8 F D}{\pi d^3}$

Разбор по случаям

Примеры

Проектный расчет. Требуется определить диаметр проволоки пружины сжатия при рабочей силе $F = 500\text{ Н}$, среднем диаметре $D = 40\text{ мм}$, индексе $C = 8$ и допускаемом напряжении $[\tau] = 400\text{ МПа}$.

Коэффициент кривизны равен $k = \frac{4 \cdot 8 - 1}{4 \cdot 8 - 4} + \frac{0.615}{8} \approx 1.18$.

По формуле получаем диаметр $d = \sqrt{\frac{8 \cdot 500 \cdot 40 \cdot 1.18}{3.14 \cdot 400}} \approx 12.2\text{ мм}$.

Принимаем стандартный диаметр $d = 13\text{ мм}$.

Проверочный расчет. Выполним проверку прочности пружины при силе $F = 800\text{ Н}$, диаметре проволоки $d = 6\text{ мм}$ и среднем диаметре витка $D = 36\text{ мм}$. Индекс пружины составляет $C = \frac{D}{d} = 6$. Поправочный коэффициент Саверина равен $k \approx 1.25$.

Расчетное напряжение составляет $\tau = 1.25 \cdot \frac{8 \cdot 800 \cdot 36}{3.14 \cdot 6^3} \approx 377\text{ МПа}$.

Если допускаемое напряжение $[\tau] = 400\text{ МПа}$, условие прочности выполняются.

Расчет предельной нагрузки. Выполняется расчет предельно допустимой силы $F$ для винтовой пружины сжатия из стали 65Г при диаметре проволоки $d = 4$ мм и среднем диаметре $D = 24$ мм. Сначала вычисляем индекс пружины $C = D / d = 24 / 4 = 6$.

Рассчитываем коэффициент концентрации и сдвига по формуле Саверина: $k = \frac{4 \cdot 6 - 1}{4 \cdot 6 - 4} + \frac{0.615}{6} = 1.2525$.

Принимаем допускаемое напряжение на кручение $[\tau] = 500$ МПа.

Используем условие прочности $\tau = k \cdot \frac{8 F D}{\pi d^3} \le [\tau]$.

Отсюда выражаем нагрузку $F = \frac{[\tau] \cdot \pi \cdot d^3}{8 \cdot k \cdot D}$.

Подставляя численные значения $F = \frac{500 \cdot 3.1416 \cdot 64}{8 \cdot 1.2525 \cdot 24}$, получаем $F = 418$ Н.

Следовательно, данная пружина гарантированно способна воспринимать внешнюю нагрузку до 418 Н без возникновения опасных пластических деформаций.

Частые ошибки

• Игнорирование поправочного коэффициента кривизны витка ведет к занижению расчетных напряжений.
• Подстановка наружного диаметра пружины вместо среднего диаметра витка искажает индекс пружины.
• Расчет диаметра проволоки без округления до ближайшего большего стандартного значения снижает прочность.

Коротко

Формула М. А. Саверина остается базовым инструментом инженерного расчета цилиндрических пружин на прочность при кручении. Использование поправочного коэффициента обеспечивает точный подбор параметров витков в машиностроении.