Калькулятор систем уравнений онлайн с пошаговым решением
Введите коэффициенты системы уравнений — решим методом Гаусса с пошаговым объяснением
x+ | y | = | |
x+ | y | = |
Как правильно решать систему уравнений методом Гаусса
Метод Гаусса — это пошаговое приведение системы линейных уравнений к треугольному виду через элементарные преобразования. После этого неизвестные находятся обратной подстановкой — снизу вверх.
1. Записать расширенную матрицу системы. Слева — коэффициенты при неизвестных, справа за вертикальной чертой — свободные члены. Каждое уравнение — отдельная строка.
2. Прямой ход (приведение к ступенчатой форме).
- Первую строку оставляют как опорную.
- Из второй вычитают первую, умноженную на такое число, чтобы под первым ведущим элементом стал ноль.
- Из третьей — то же, обнуляя первый коэффициент.
- Дальше работают со второй строкой как с опорной для нижних, и так далее.
3. Получаем треугольную матрицу: под главной диагональю — нули.
4. Обратный ход (подстановка). Из последнего уравнения находим последнюю переменную. Подставляем её в предпоследнее — находим следующую. И так до первой.
Особые случаи:
- Все коэффициенты строки нулевые, а свободный член нет — система несовместна, решений нет.
- Получилась строка из всех нулей — уравнение зависимо, бесконечно много решений (параметрических).
Разрешённые элементарные преобразования: переставлять строки, умножать строку на ненулевое число, прибавлять к строке другую строку, умноженную на число.
Как пользоваться калькулятором
- Укажите количество уравнений и количество неизвестных.
- В появившуюся матрицу введите коэффициенты при каждой переменной и свободный член справа.
- Нажмите «Рассчитать».
- Калькулятор покажет: исходную матрицу, каждый шаг преобразований Гаусса с пояснением какую строку на какое число умножили, треугольную форму и финальные значения неизвестных.
Разбор примера: система двух уравнений
2x + y = 5
x − y = 1
Расширенная матрица:
│ 2 1 │ 5 │
│ 1 −1 │ 1 │
Шаг 1. Поменяем строки местами — удобнее, когда в углу единица:
│ 1 −1 │ 1 │
│ 2 1 │ 5 │
Шаг 2. Из второй строки вычтем первую, умноженную на 2:
│ 1 −1 │ 1 │
│ 0 3 │ 3 │
Обратный ход. Из второго уравнения: 3y = 3 → y = 1. Подставляем в первое: x − 1 = 1 → x = 2.
Ответ: x = 2, y = 1. Проверка: 2·2 + 1 = 5 ✓, 2 − 1 = 1 ✓.
Часто задаваемые вопросы
Нужна вся домашка целиком?
Решил пример? Оформи всю работу через НейроСову за 5 минут. Реферат, доклад, курсовая — генерируем под твою тему.