Как найти длину дуги

Чтобы понять, как найти длину дуги, нужно определить известный элемент фигуры: центральный угол и радиус. Если центральный угол задан в градусах, длина дуги окружности находится умножением произведения пи и радиуса на градусную меру, деленного на сто восемьдесят градусов. Если угол измерен в радианах, искомое значение равно простому произведению радиуса на данный угол. В сложных задачах используют радиус и хорду.

$L = \frac{\pi r \alpha}{180^\circ}$

Разбор по случаям

Примеры

Расчет через градусы. Дано: радиус $r = 12\text{ см}$, центральный угол $\alpha = 60^\circ$. Решение: длина дуги окружности вычисляется по стандартной школьной формуле.

Подставляем известные значения в выражение $L = \frac{\pi \cdot r \cdot \alpha}{180^\circ}$.

Получаем $L = \frac{\pi \cdot 12 \cdot 60}{180} = \frac{\pi \cdot 720}{180} = 4\pi\text{ см}$.

Если принять число пи равным $3{,}14$, вычисление даст результат $L \approx 12{,}56\text{ см}$.

Ответ: $4\pi\text{ см}$.

Расчет через площадь сектора. Дано: площадь кругового сектора $S = 45\pi\text{ см}^2$, радиус $r = 9\text{ см}$. Решение: вспомнив связь параметров, задействуем формулу площади сектора $S = \frac{L \cdot r}{2}$. Выражаем искомый параметр: $L = \frac{2 \cdot S}{r}$.

Подставляем числа в формулу: $L = \frac{2 \cdot 45\pi}{9} = \frac{90\pi}{9} = 10\pi\text{ см}$.

Таким образом, найденная длина дуги окружности составляет $10\pi\text{ см}$ или около $31{,}4\text{ см}$. Ответ: $10\pi\text{ см}$.

Расчет через радианную меру угла. Найдем длину дуги окружности, если радиус равен $12$ см, а центральный угол задан в радианах и составляет $\alpha = \frac{3\pi}{4}$. Используем формулу $L = \alpha \cdot r$, где $L$ — длина дуги, $\alpha$ — угол в радианах, $r$ — радиус.

Подставим данные значения: $L = \frac{3\pi}{4} \cdot 12$.

Сократим знаменатель и множитель: $L = 3\pi \cdot 3 = 9\pi$ см. Для получения точного десятичного значения умножим на число $\pi \approx 3{,}1416$: $L \approx 28{,}27$ см. Точный ответ равен $9\pi$ см, а приближенный составляет $28{,}27$ см.

Частые ошибки

• Использование значения угла в градусах в радианной формуле приводит к неверному результату.
• Подстановка диаметра вместо радиуса является частой ошибкой при вычислениях.
• Забытый перевод градусов в радианы искажает конечное значение длины.

Коротко

Подводя итоги, ответ на вопрос, как найти длину дуги, зависит от имеющихся начальных данных геометрической задачи. Основная длина дуги окружности легко вычисляется через радиус и градусную или радианную меру соответствующего центрального угла.