Как найти радиус вписанной окружности в равнобедренном треугольнике

Чтобы понять, как найти радиус вписанной окружности в равнобедренном треугольнике, используйте базовую формулу площади через полупериметр: $r = \frac{S}{p}$. Для фигуры Боковые стороны $a$ и основание $b$ задают полупериметр $p = \frac{2a + b}{2}$ и высоту $h = \sqrt{a^2 - (b/2)^2}$.

Подставив площадь $S = \frac{1}{2} b h$, получим итоговое выражение $r = \frac{b \cdot \sqrt{4a^2 - b^2}}{2(2a + b)}$.

Этот метод позволяет быстро определить радиус вписанной окружности в равнобедренном треугольнике.

Разбор по случаям

Примеры

По трем сторонам. Дано: боковые стороны $a = 10$ см, основание $b = 12$ см.

Найдём полупериметр $p = \frac{10 + 10 + 12}{2} = 16$ см.

Высота к основанию равна $h = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ см.

Площадь треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

Рассчитаем радиус вписанной окружности в равнобедренном треугольнике: $r = \frac{S}{p} = \frac{48}{16} = 3$ см.

По высоте и основанию. Дано: основание $b = 16$ см и высота $h = 6$ см.

Найдём боковую сторону по теореме Пифагора: $a = \sqrt{6^2 + (16/2)^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$ см.

Полупериметр равен $p = \frac{10 + 10 + 16}{2} = 18$ см.

Площадь равна $S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 6 = 48$ см$^2$.

Находим радиус: $r = \frac{48}{18} = \frac{8}{3}$ см.

По боковой стороне и углу при основании. Пусть даны боковая сторона треугольника $a = 13$ и угол при его основании $\alpha$, причем $\cos \alpha = \frac{5}{13}$.

Сначала определим длину основания равнобедренного треугольника через проекцию стороны: $b = 2 a \cos \alpha = 2 \cdot 13 \cdot \frac{5}{13} = 10$.

Используя основное тригонометрическое тождество, вычислим синус этого угла: $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \frac{12}{13}$.

Находим высоту $h = a \sin \alpha = 13 \cdot \frac{12}{13} = 12$.

Затем вычисляем площадь $S = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ и полупериметр $p = \frac{13 + 13 + 10}{2} = 18$.

Искомый радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру: $r = \frac{S}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$.

Частые ошибки

• Путаница между радиусом вписанной и описанной окружностей при выборе конечной формулы.
• Использование полной длины основания вместо его половины при вычислении высоты по теореме Пифагора.
• Ошибки при расчете полупериметра, когда забывают сложить вторую боковую сторону.

Коротко

Для успешного решения геометрических задач необходимо четко знать базовые соотношения между сторонами, высотами и площадью. Наш разбор подробно объясняет, как найти радиус вписанной окружности в равнобедренном треугольнике с помощью полупериметра и формулы площади.