Как найти угол по косинусу

Многие школьники интересуются, как найти угол по косинусу при решении геометрических задач. Для этого используют обратную тригонометрическую функцию — арккосинус. Если известный косинус равен числовому значению $x$, то искомый острый или тупой угол определяется формулой $\alpha = \arccos(x)$. На практике угол по косинусу находят по таблице тригонометрических функций Брадиса, с помощью инженерного калькулятора или вычисляют табличные значения для стандартных углов в тридцать, сорок пять и шестьдесят градусов.

Разбор по случаям

Примеры

Острый угол в прямоугольном треугольнике. Дано: в прямоугольном треугольнике прилежащий катет равен $3$ см, а гипотенуза равна $6$ см. Требуется найти угол $\alpha$.

Решение: отношение катета к гипотенузе дает $\cos(\alpha) = \frac{3}{6} = 0{,}5$.

Чтобы точно найти угол по косинусу, берем арккосинус от полученного числа: $\alpha = \arccos(0{,}5)$. Из табличных тригонометрических значений находим $\alpha = 60^\circ$. Ответ: $60^\circ$.

Тупой угол с отрицательным косинусом. Дано: косинус тупого угла равен $-0{,}5$. Требуется найти величину угла $\beta$.

Решение: для отрицательного аргумента применяем тригонометрическое тождество $\arccos(-x) = 180^\circ - \arccos(x)$.

Подставляем значение: $\beta = \arccos(-0{,}5) = 180^\circ - \arccos(0{,}5)$.

Из таблицы знаем, что $\arccos(0{,}5) = 60^\circ$.

Следовательно, $\beta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

Угол между векторами через скалярное произведение. Рассмотрим задачу нахождения угла между двумя известными векторами $a = (1, 1)$ и $b = (0, 2)$.

Сначала необходимо аккуратно вычислить их скалярное произведение по соответствующим координатам: $a \cdot b = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 2 = 2$.

На следующем шаге определяем геометрические длины данных векторов через квадратные корни из суммы квадратов координат: $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ и $\sqrt{0^2 + 2^2} = 2$.

Теперь подставим все найденные результаты в известное формульное отношение: $\cos \alpha = \frac{2}{2 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для окончательного нахождения значения угла $\alpha$ берем функцию арккосинуса от полученной дроби: $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.

Частые ошибки

• Ошибочно вычислять арккосинус для чисел, выходящих за пределы допустимого отрезка от минус единицы до единицы.
• Часто забывают перевести калькулятор из режима радиан в режим градусов при получении итогового ответа.
• Путают косинус со синусом и берут отношение противолежащего катета вместо прилежащего.

Коротко

Теперь вы знаете, как найти угол по косинусу с помощью арккосинуса, специальных таблиц или калькулятора. Главное — следить за знаком значения и правильно применять формулу для тупых углов.