Модуль упругости стального каната

Модуль упругости стального каната — это приведенная характеристика жесткости, определяющая относительное удлинение изделия под действием продольной растягивающей силы. В отличие от цельного стального стержня со значением 210 ГПа, данный показатель у свитых тросов значительно ниже и составляет от 90 до 150 ГПа. Это обусловлено спиральным расположением проволок, наличием органического или металлического сердечника, а также конструктивной деформацией свивки при нагружении.

$E = \frac{F \cdot L_0}{A \cdot \Delta L}$

Разбор по случаям

Примеры

Канат крана с органическим сердечником. Дано: длина $L_0 = 50\text{ м}$, площадь поперечного сечения проволок $A = 100\text{ мм}^2$, сила $F = 20\text{ кН}$, удлинение $\Delta L = 0.1\text{ м}$.

Решение: вычисляем модуль упругости данного каната по формуле $E = \frac{F \cdot L_0}{A \cdot \Delta L}$.

Подставляем значения: $E = \frac{20000 \cdot 50}{100 \cdot 10^{-6} \cdot 0.1} = 100 \cdot 10^9\text{ Па} = 100\text{ ГПа}$.

Ответ: модуль упругости равен 100 ГПа.

Стальной трос грузового подъемника. Дано: трос с металлическим сердечником длиною $L_0 = 100\text{ м}$, сечением $A = 200\text{ мм}^2$, модуль $E = 140\text{ ГПа}$, сила $F = 50\text{ кН}$.

Решение: находим абсолютное удлинение из формулы $\Delta L = \frac{F \cdot L_0}{A \cdot E}$.

Подставляем данные: $\Delta L = \frac{50000 \cdot 100}{200 \cdot 10^{-6} \cdot 140 \cdot 10^9} = 0.178\text{ м}$.

Ответ: удлинение троса составляет 17.8 см.

Вантовый канат моста с металлическим сердечником. Рассмотрим наклонный вантовый канат мостовой конструкции с металлическим сердечником повышенной жесткости. Приведенный модуль упругости такого каната составляет $E = 1.6 \cdot 10^5$ МПа. При расчетной рабочей длине элемента $L = 120$ м и общей площади поперечного сечения по металлу $A = 800$ мм$^2$ действующее растягивающее усилие составляет $F = 320$ кН.

Абсолютное упругое удлинение ванта определяется стандартным выражением $\Delta L = \frac{F \cdot L}{E \cdot A}$.

Выполняем подстановку всех численных величин: $\Delta L = \frac{320 \cdot 10^3 \cdot 120}{1.6 \cdot 10^{11} \cdot 8 \cdot 10^{-4}} = 0.3$ м.

Упругая деформация ванта под рабочей нагрузкой составляет $300$ мм.

Частые ошибки

• Использование модуля упругости сплошной стали 210 ГПа вместо приведенного значения для свитого каната.
• Игнорирование типа сердечника при расчете упругих деформаций грузоподъемного каната.
• Пренебрежение начальной конструктивной вытяжкой нового каната при вычислении удлинения.

Коротко

Приведенный параметр жесткости всегда ниже модуля сплошной стали из-за геометрии свивки. Итоговый модуль упругости стального каната определяется конструкцией изделия, типом сердечника и предварительной вытяжкой.