Как построить векторную диаграмму токов и напряжений

Разбираясь, как построить векторную диаграмму токов и напряжений, важно понять, что векторная диаграмма отражает гармонические колебания на комплексной плоскости. Процесс: построение векторной диаграммы токов и напряжений включает в себя несколько этапов: выбор базовой оси, расчет фазовых сдвигов для элементов $R$, $L$, $C$ и последовательное откладывание векторов с учетом масштаба. Построение зависит от типа соединения элементов: последовательного, параллельного или смешанного.

$\dot{U} = \dot{I} \cdot Z$

Последовательная RLC-цепь

При последовательном соединении элементов через все участки протекает один и тот же ток. Поэтому, выясняя, как построить векторную диаграмму токов и напряжений в такой цепи, за опорную ось принимают вектор тока $\dot{I}$. Напряжение на резисторе $\dot{U}_R$ совпадает по фазе с током и направлено параллельно ему. Напряжение на индуктивности $\dot{U}_L$ опережает ток на $90^\circ$ и направлено вверх. Напряжение на емкости $\dot{U}_C$ отстает от тока на $90^\circ$ и направлено вниз.

Результирующее напряжение сети $\dot{U}$ находится путем геометрического суммирования векторов: $\dot{U} = \dot{U}_R + \dot{U}_L + \dot{U}_C$.

Параллельная RLC-цепь

В параллельной цепи к каждому элементу приложено одинаковое напряжение. Выполняя построение векторной диаграммы токов и напряжений для параллельного участка, за базисный вектор принимают напряжение $\dot{U}$, направляя его по вещественной оси. Ток в резистивной ветви $\dot{I}_R$ совпадает по направлению с напряжением. Ток в индуктивной ветви $\dot{I}_L$ отстает от напряжения на $90^\circ$ и откладывается вниз. Ток емкостной ветви $\dot{I}_C$ опережает напряжение на $90^\circ$ и откладывается вверх.

Общий ток источника равен векторной сумме токов всех параллельных ветвей: $\dot{I} = \dot{I}_R + \dot{I}_L + \dot{I}_C$.

Смешанное соединение элементов

Для сложной цепи построение векторной диаграммы токов и напряжений выполняется поэтапно, начиная с наиболее удаленных или простых параллельных и последовательных участков. Сначала находят эквивалентное сопротивление $Z$, определяют токи и напряжения на отдельных ветвях с помощью законов Кирхгофа в комплексной форме. Затем строятся векторные диаграммы для параллельных блоков, где опорным является напряжение узлов, и для последовательных ветвей, где опорным выступает общий ток ветви. На финальном этапе все частные диаграммы объединяются в единую общую систему координат на комплексной плоскости с соблюдением общего выбранного масштаба.

Диаграммы для трехфазных цепей

Трехфазные системы требуют построения диаграмм с учетом симметрии или несимметрии нагрузки. При соединении «звездой» линейные напряжения связаны с фазными соотношением $U_{lin} = \sqrt{3} U_{ph}$ и сдвинуты относительно них на $30^\circ$. За базовые векторы принимают фазные напряжения трех фаз, расположенные под углом $120^\circ$ друг к другу. При правильном расчете векторы токов откладываются с учетом угла сдвига фаз $\varphi$ для каждой фазы. При соединении «треугольником» базовыми являются линейные напряжения, а линейные токи определяются как разность соответствующих фазных токов.

Кратко по случаям

Примеры

Последовательная RL-цепь. Пусть $R = 3\text{ Ом}$, $X_L = 4\text{ Ом}$, а ток $I = 2\text{ А}$. Выполним построение векторной диаграммы токов и напряжений.

Напряжение на резисторе $U_R = 2 \cdot 3 = 6\text{ В}$, на индуктивности $U_L = 2 \cdot 4 = 8\text{ В}$.

Откладываем вектор тока $I$ горизонтально. Вектор $U_R$ длиной 6 ед. направляем по вектору тока. Вектор $U_L$ длиной 8 ед. проводим из конца $U_R$ вверх под углом $90^\circ$. Вектор полного напряжения $U$ соединяет начало $U_R$ и конец $U_L$, его длина равна $10\text{ В}$.

Параллельная RC-цепь. При напряжении $U = 12\text{ В}$ токи равны $I_R = 3\text{ А}$ и $I_C = 4\text{ А}$. Вектор напряжения $U$ направляем горизонтально вправо. Ток $I_R$ откладываем вдоль вектора $U$. Ток $I_C$ проводим из конца вектора $I_R$ вертикально вверх под $90^\circ$. Соединив начало координат с концом вектора $I_C$, получаем вектор полного тока $I$ величиной $5\text{ А}$.

Частые ошибки

• Выбор разных масштабов для одинаковых физических величин на одной диаграмме.
• Неправильное направление фазового сдвига: откладывание индуктивного напряжения вниз вместо верха.
• Отсутствие замыкающего вектора эквивалентной суммы при графическом сложении.
• Откладывание векторов без соблюдения положительного направления вращения фазоров (против часовой стрелки).

Коротко

Зная правила законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме, легко понять, как построить векторную диаграмму токов и напряжений для цепи любой сложности. Грамотное построение векторной диаграммы токов и напряжений помогает наглядно проверить правильность выполнения математических расчетов и определить фазовые сдвиги. Использование единого масштаба и правильный выбор базисной оси гарантируют точность графического построения.