Как найти катет по углу и катету

Разберёмся, как найти катет по углу и катету в прямоугольном треугольнике. Чтобы найти катет по углу и катету, применяют тригонометрические функции тангенса и котангенса. Искомый противолежащий катет равен произведению известного прилежащего катета на тангенс данного острого угла. Если требуется вычислить прилежащий катет, следует разделить известный противолежащий катет на тангенс угла либо умножить его на котангенс. Важно верно определить взаимное расположение катета и угла.

$a = b \cdot \operatorname{tg} \alpha$

Разбор по случаям

Примеры

Нахождение противолежащего катета. Дано: прямоугольный треугольник, прилежащий катет $b = 6\text{ см}$, острый угол $\alpha = 45^\circ$. Найдём неизвестный противолежащий катет $a$.

Решение: по выражению через тригонометрическую функцию отношение противолежащего катета к прилежащему равно тангенсу угла: $a = b \cdot \operatorname{tg} \alpha$.

Известно, что значение тангенса $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$.

Подставим имеющиеся числовые значения: $a = 6 \cdot 1 = 6\text{ см}$.

Ответ: противолежащий катет $a = 6\text{ см}$.

Нахождение прилежащего катета. Дано: в прямоугольном треугольнике противолежащий катет $a = 12\text{ см}$, а противолежащий острый угол $\alpha = 60^\circ$. Найдём неизвестный прилежащий катет $b$.

Решение: выразим прилежащий катет через формулу с котангенсом угла: $b = a \cdot \operatorname{ctg} \alpha$.

Табличное значение котангенса угла равно $\operatorname{ctg} 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Подставим значения и вычислим длину стороны: $b = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}\text{ см}$.

Ответ: искомый прилежащий катет равен $4\sqrt{3}\text{ см}$.

Частые ошибки

• Путаница между противолежащим и прилежащим катетами относительно заданного острого угла.
• Умножение известного катета на тангенс при поиске прилежащего катета вместо деления.
• Подстановка значения синуса или косинуса вместо тангенса и котангенса при вычислениях.

Коротко

Мы разобрали, как найти катет по углу и катету с помощью тригонометрии. Зная правила для тангенса и котангенса, легко вычислить любую неизвестную сторону прямоугольного треугольника.