Как найти площадь призмы

Чтобы ответить на вопрос, как найти площадь призмы, нужно вычислить сумму площадей двух ее равных оснований и боковой поверхности. Для прямой призмы площадь боковой поверхности находится перемножением периметра основания на высоту фигуры. Если призма наклонная, боковая площадь равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро. Вычислив площадь поверхности призмы, сложите боковую часть и два основания для получения полной площади.

$S_{poln} = S_{bok} + 2S_{osn}$

Разбор по случаям

Примеры

Прямая треугольная призма. Найдем площадь полной поверхности прямой призмы с высотой $h = 10\text{ см}$, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с катетами $3\text{ см}$ и $4\text{ см}$.

Гипотенуза равна $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\text{ см}$.

Периметр основания $P_{osn} = 3 + 4 + 5 = 12\text{ см}$.

Площадь основания $S_{osn} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\text{ см}^2$.

Боковая площадь $S_{bok} = 12 \cdot 10 = 120\text{ см}^2$.

Полная площадь равна $S_{poln} = 120 + 2 \cdot 6 = 132\text{ см}^2$.

Правильная четырехугольная призма. Дана правильная четырехугольная призма со стороной основания $a = 5\text{ см}$ и боковым ребром $h = 8\text{ см}$. В основании лежит квадрат.

Площадь основания равна $S_{osn} = 5^2 = 25\text{ см}^2$.

Периметр основания составляет $P_{osn} = 4 \cdot 5 = 20\text{ см}$.

Площадь боковой поверхности $S_{bok} = 20 \cdot 8 = 160\text{ см}^2$.

Искомая площадь поверхности призмы определяется по формуле $S_{poln} = 160 + 2 \cdot 25 = 210\text{ см}^2$.

Правильная шестиугольная призма. Дана правильная шестиугольная призма, у которой сторона основания равна $4$ см, а боковое ребро равно $10$ см. Требуется найти площадь полной поверхности этой фигуры. Сначала найдем площадь правильного шестиугольника в основании.

Она вычисляется по формуле шести площадей равносторонних треугольников: $S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4^2 = 24\sqrt{3}$ см$^2$.

Так как оснований два, их суммарная площадь составит $2 \cdot 24\sqrt{3} = 48\sqrt{3}$ см$^2$.

Периметр основания равен $6 \cdot 4 = 24$ см. Боковая поверхность такой призмы равна произведению периметра на высоту: $S = 24 \cdot 10 = 240$ см$^2$. Складывая площади двух оснований и боковой поверхности, получаем итоговую величину $240 + 48\sqrt{3}$ см$^2$.

Частые ошибки

• Забывают умножить площадь основания на два при подсчете полной поверхности.
• Используют длину бокового ребра вместо высоты при вычислении боковой площади наклонной призмы.
• Путают периметр перпендикулярного сечения с периметром основания для наклонных фигур.

Коротко

Главное правило того, как найти площадь призмы, заключается в раздельном вычислении боковой грани и площадей оснований. Итоговая площадь поверхности призмы складывается из площади боковой поверхности и удвоенного основания.