Как найти сторону прямоугольника, если известен периметр

Разберёмся, как найти сторону прямоугольника, если известен периметр. Чтобы найти сторону прямоугольника если известен периметр, нужно знать ещё одну его сторону или соотношение между ними. Периметр равен удвоенной сумме смежных сторон: $P = 2(a + b)$. Отсюда полупериметр $p = \frac{P}{2}$ равен сумме длины и ширины. Вычитая из полупериметра известную сторону, получаем искомую: $a = \frac{P}{2} - b$. Это базовое правило геометрии.

Разбор по случаям

Примеры

Известна одна сторона. Дано: периметр $P = 36$ см, известная сторона $b = 10$ см. Требуется найти сторону прямоугольника $a$.

Решение: сперва вычисляем полупериметр данной фигуры по формуле $\frac{P}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

Из полученного значения вычитаем известную сторону: $a = 18 - 10 = 8$ см. Ответ: искомая сторона равна $8$ см.

Стороны соотносятся как k. Дано: периметр $P = 40$ см, длина $a$ в $3$ раза больше ширины $b$. Решение: выразим $a = 3b$. Формула периметра: $2(3b + b) = 40$. Упрощаем: $8b = 40$, откуда $b = 5$ см. Тогда длина $a = 3 \cdot 5 = 15$ см. Ответ: стороны равны $15$ см и $5$ см.

Стороны относятся как m к n. Периметр прямоугольника равен $80$ см. Известно, что его стороны относятся как $5 : 3$. Найдем ширину и длину этого прямоугольника. Сначала найдем полупериметр, то есть сумму двух смежных сторон: $p = \frac{80}{2} = 40$ см. Пусть одна часть пропорции равна $x$ см. Тогда первая сторона $a = 5x$ см, а вторая $b = 3x$ см. Составим уравнение для полупериметра: $5x + 3x = 40$. Сложим коэффициенты: $8x = 40$. Разделим обе части на $8$ и получим $x = 5$ см. Теперь вычислим искомые стороны прямоугольника: длина $a = 5 \cdot 5 = 25$ см, ширина $b = 3 \cdot 5 = 15$ см. Ответ: стороны равны $25$ см и $15$ см.

Частые ошибки

• Забывают разделить периметр на два и вычитают известную сторону сразу из полного периметра.
• Путают формулу периметра с формулой площади прямоугольника при выражении неизвестных сторон.
• Ошибаются в составлении уравнения, когда одна сторона выражена через другую с помощью коэффициента.

Коротко

Таким образом, чтобы понять, как найти сторону прямоугольника, если известен периметр, достаточно разделить периметр пополам и вычесть известную сторону. В задачах с соотношением сторон на помощь приходит составление простого линейного уравнения.