Как найти сумму углов многоугольника

Чтобы понять, как найти сумму углов многоугольника, нужно определить количество его вершин или сторон $n$.

Для любого выпуклого многоугольника сумма углов многоугольника рассчитывается по геометрической формуле $S = 180^\circ \cdot (n - 2)$.

Значение $n$ указывает на число углов фигуры. Данный метод основан на разбиении многоугольника на $n - 2$ треугольника, сумма углов каждого из которых составляет $180^\circ$.

Разбор по случаям

Примеры

Вычисление для шестиугольника. Дано: выпуклый шестиугольник, у которого количество сторон $n = 6$. Требуется вычислить величину суммы всех внутренних углов.

Решение: подставим значение $n = 6$ в базовую формулу $S = 180^\circ \cdot (n - 2)$.

Получаем промежуточное выражение $S = 180^\circ \cdot (6 - 2) = 180^\circ \cdot 4$.

Выполняем умножение и получаем итоговый результат $S = 720^\circ$. Ответ: $720^\circ$.

Нахождение угла правильного восьмиугольника. Дано: правильный восьмиугольник с числом сторон $n = 8$.

Сначала найдем общую сумму внутренних углов по формуле $S = 180^\circ \cdot (8 - 2) = 180^\circ \cdot 6 = 1080^\circ$.

Так как многоугольник правильный, все его углы равны.

Разделим полученную сумму на количество углов: $\alpha = 1080^\circ / 8 = 135^\circ$.

Ответ: сумма углов равна $1080^\circ$, каждый угол равен $135^\circ$.

Нахождение суммы углов по количеству диагоналей. Найдем сумму внутренних углов выпуклого многоугольника, имеющего $14$ диагоналей. Сначала определим количество вершин $n$, используя формулу числа диагоналей $D = \frac{n(n - 3)}{2}$. Подставим число диагоналей: $14 = \frac{n(n - 3)}{2}$. Умножим обе части на два и получим квадратное уравнение $n^2 - 3n - 28 = 0$. Корнями данного уравнения являются числа $7$ и $-4$. Так как количество сторон не может быть отрицательным, выбираем $n = 7$. Таким образом, заданная геометрическая фигура является семиугольником.

Вычислим искомую сумму внутренних углов по классической формуле $S = 180^\circ \cdot (n - 2)$.

Подставив $n = 7$, получаем $S = 180^\circ \cdot (7 - 2) = 180^\circ \cdot 5 = 900^\circ$.

Искомая сумма равна $900^\circ$.

Частые ошибки

• Использование количества диагоналей вместо количества сторон при подстановке значения в формулу.
• Ошибочное применение формулы суммы внутренних углов к невыпуклым многоугольникам с самопересечениями.
• Путаница между суммой внутренних углов и постоянной суммой внешних углов многоугольника.

Коротко

Разбор показывает, как найти сумму углов многоугольника с помощью базовой формулы через число его сторон. Правильно посчитанная сумма углов многоугольника позволяет быстро найти величину каждого угла в правильных фигурах.