Как найти точку пересечения прямой и плоскости

Чтобы понять, как найти точку пересечения прямой и плоскости, необходимо записать каноническое уравнение прямой в параметрическом виде. Переменные $x$, $y$, $z$ выражаются через параметр $t$ и подставляются в общее уравнение плоскости. Из полученного линейного уравнения находится значение $t$. Подставив найденный параметр обратно в параметрические уравнения прямой, получают координаты искомой точки. Точка пересечения прямой и плоскости уникальна при ненулевом знаменателе.

$A(x_0 + m t) + B(y_0 + n t) + C(z_0 + p t) + D = 0$

Разбор по случаям

Примеры

Прямая и плоскость пересекаются. Даны прямая $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{1}$ и плоскость $x+2y-z+2=0$.

Выразим координаты через параметр: $x=1+t$, $y=-1+2t$, $z=t$. Подставим их в уравнение плоскости: $(1+t)+2(-1+2t)-t+2=0$. Раскрываем скобки: $1+t-2+4t-t+2=0$, откуда $4t+1=0$ или $t=-0.25$. Подставляем $t$ в параметрические уравнения: $x=0.75$, $y=-1.5$, $z=-0.25$. Найдена точка пересечения прямой и плоскости $M(0.75; -1.5; -0.25)$.

Параллельность прямой и плоскости. Даны прямая $\frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{-1}$ и плоскость $x+y+3z-5=0$.

Запишем параметрическую форму: $x=2t$, $y=1+t$, $z=-1-t$. Подставим в уравнение: $2t+(1+t)+3(-1-t)-5=0$. Получаем $2t+1+t-3-3t-5=0$, что приводит к равенству $-7=0$. Это противоречие означает, что прямая параллельна плоскости и не имеет с ней общих точек. Точка пересечения прямой и плоскости в данном случае отсутствует.

Прямая лежит в плоскости. Проверим взаимное расположение прямой, заданной каноническими уравнениями $\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3}$, и плоскости $x + 5y + z + 9 = 0$.

Запишем параметрический вид данной прямой через параметр $t$: $x = 2t + 1$, $y = -t - 2$, $z = 3t$.

Подставим полученные выражения для координат в общее уравнение плоскости: $(2t + 1) + 5(-t - 2) + 3t + 9 = 0$.

Раскрываем скобки и группируем слагаемые: $2t - 5t + 3t + 1 - 10 + 9 = 0$, откуда получаем верное числовое равенство $0 = 0$.

Данное тождество выполняется при абсолютно любом значении параметра $t$. Следовательно, всякая точка исходной прямой одновременно принадлежит заданной плоскости. Искомым результатом является вывод о том, что прямая целиком лежит в плоскости, поэтому множество точек пересечения бесконечно.

Частые ошибки

• Ошибки при раскрытии скобок и знаков при подстановке параметрических выражений в уравнение плоскости.
• Игнорирование ситуации, когда прямая полностью лежит в плоскости и имеет бесконечно много общих точек.
• Подстановка параметров в каноническое уравнение вместо выражения переменных через единый параметр.

Коротко

Ответ на вопрос, как найти точку пересечения прямой и плоскости, заключается в переходе к параметрическому виду прямой и подстановке переменных в уравнение плоскости. Найдена точка пересечения прямой и плоскости будет единственной, если прямая не параллельна данной плоскости.