Как найти аргумент комплексного числа

Чтобы понять, как найти аргумент комплексного числа $z = x + iy$, необходимо определить угол $\varphi$ между положительным направлением действительной оси и вектором числа. В первой и четвертой четвертях значение угла равно $\arctan(y/x)$. Во второй четверти формула принимает вид $\pi + \arctan(y/x)$, а в третьей четверти используют выражение $-\pi + \arctan(y/x)$. Для чисто мнимых и действительных чисел угол находится по координатным осям.

$\varphi = \arg(x + iy)$

Разбор по случаям

Примеры

Число во второй четверти. Найдем угол для $z = -1 + i\sqrt{3}$. Имеем $x = -1$ и $y = \sqrt{3}$, что соответствует второй четверти, так как действительная часть отрицательна, а мнимая положительна.

Вычисляем арктангенс отношения: $\mathrm{arctg}(\sqrt{3}/(-1)) = -\pi/3$.

Применяем формулу для второй координатной четверти: $\varphi = \pi + (-\pi/3) = 2\pi/3$.

В результате аргумент комплексного числа равен $2\pi/3$ радиан.

Число в третьей четверти. Вычислим угол для $z = -2 - 2i$. Действительная и мнимая части отрицательны: $x = -2$, $y = -2$. Следовательно, точка расположена в третьей четверти комплексной плоскости. Сначала находим отношение $y/x = -2/(-2) = 1$. Арктангенс единицы равен $\pi/4$.

По формуле для третьей четверти получаем $\varphi = -\pi + \pi/4 = -3\pi/4$.

Искомый угол равен $-3\pi/4$ радиан.

Число в четвёртой четверти. Найдем главное значение аргумента для комплексного числа $z = 1 - i\sqrt{3}$. Сначала определим его вещественную и мнимую части: $x = 1$ и $y = -\sqrt{3}$. Так как $x > 0$, а $y < 0$, соответствующая точка лежит в четвёртой координатной четверти.

Аргумент $z$ в этом случае рассчитывается напрямую через арктангенс по формуле $\arg(z) = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$.

Выполняем подстановку известных значений: $\arg(z) = \arctan\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = -\frac{\pi}{3}$.

Искомый угол аргумента равен $-\frac{\pi}{3}$ радиан. Общий аргумент записывается как $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k$.

Частые ошибки

• Забывают учитывать знак действительной части $x$ при расчете угла через обычный арктангенс.
• Путают мнимую $y$ и действительную $x$ части местами при подстановке в отношение $y/x$.
• Используют формулу главной ветви арктангенса без добавления или вычитания числа $\pi$ для левой полуплоскости.

Коротко

Подводя итоги, чтобы понять, как найти аргумент комплексного числа, нужно всегда определять знак координатных частей $x$ и $y$. Правильно выбранная формула с учетом четверти позволяет безошибочно вычислить этот параметр.