Как найти косинус угла между векторами

Чтобы понять, как найти косинус угла между векторами, нужно разделить их скалярное произведение на произведение их длин. Данный тригонометрический показатель показывает, под каким углом пересекаются заданные направленные отрезки на плоскости или в пространстве. В координатной форме искомый косинус угла между векторами равен сумме произведений одноименных координат, деленной на произведение квадратных корней из сумм квадратов координат обоих векторов.

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Разбор по случаям

Примеры

Векторы на плоскости. Даны векторы $\vec{a} = (3, 4)$ и $\vec{b} = (4, 3)$.

Вычислим скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 = 24$.

Найдем длины векторов: $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ и $|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.

Разделим скалярное произведение на произведение длин: $\cos \alpha = \frac{24}{5 \cdot 5} = \frac{24}{25} = 0{,}96$.

Ответ: $0{,}96$.

Векторы в пространстве. Даны векторы $\vec{a} = (1, 2, 2)$ и $\vec{b} = (-2, 0, 2)$.

Скалярное произведение равно $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 2 = 2$.

Длины векторов равны $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$ и $|\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Вычисляем отношение: $\cos \alpha = \frac{2}{3 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{6}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{6}$.

Векторы по координатам точек. В пространстве даны координаты трех точек: $A(1, 0, 2)$, $B(3, 2, 1)$ и $C(2, -2, 4)$. Находим косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Сначала вычислим координаты векторов вычитанием координат начала из координат конца: $\vec{AB} = (3-1, 2-0, 1-2) = (2, 2, -1)$ и $\vec{AC} = (2-1, -2-0, 4-2) = (1, -2, 2)$.

Затем найдем их скалярное произведение: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + (-1) \cdot 2 = -4$.

Вычислим длины обоих векторов: $AB = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = 3$ и $AC = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = 3$.

Разделив скалярное произведение на произведение длин, получим значение косинуса искомого угла: $\cos\alpha = \frac{-4}{3 \cdot 3} = -\frac{4}{9}$.

Частые ошибки

• Забывают возвести отрицательные координаты в квадрат при вычислении длины вектора, получая под корнем отрицательное число.
• Путают скалярное произведение векторов с их векторным произведением при подстановке значений в числитель.
• Теряют знаки минус при перемножении отрицательных координат векторов в числителе формулы.

Коротко

Разбор координатного метода показывает, как найти косинус угла между векторами через деление скалярного произведения на произведение их длин. Этот базовый математический алгоритм позволяет точно вычислять искомую величину в двухмерных и трехмерных задачах геометрии.