Как найти проекцию вектора на вектор

Разберёмся, как найти проекцию вектора на вектор в аналитической геометрии. Скалярная проекция вектора $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$ равна отношению их скалярного произведения к длине вектора $\vec{b}$. Чтобы вычислить значение, найдите сумму произведений одноимённых координат обоих векторов и разделите её на квадратный корень из суммы квадратов координат вектора, на который ведётся проектирование. Если угол между векторами тупой, проекция вектора на вектор будет отрицательной.

$\text{pr}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b}{\sqrt{x_b^2 + y_b^2 + z_b^2}}$

Разбор по случаям

Примеры

Расчёт по координатам. Даны векторы $\vec{a}(3, 4)$ и $\vec{b}(4, 3)$.

Сначала находим скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 = 24$.

Затем считаем модуль второго вектора: $|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.

Теперь искомая проекция вектора на вектор составляет $\text{pr}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{24}{5} = 4{,}8$.

Ответ получен быстро и точно.

Через модуль и угол. Пусть длина вектора $\vec{a}$ равна $6$, а угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $120^\circ$.

Используем стандартную формулу через косинус: $\text{pr}_{\vec{b}} \vec{a} = |\vec{a}| \cos 120^\circ$.

Подставляем значения и вычисляем результат: $6 \cdot (-0{,}5) = -3$. Знак минус показывает, что проекция вектора направлена противоположно направлению самого вектора $\vec{b}$.

Через скалярное произведение и длину. Если известны скалярное произведение двух векторов и длина вектора, на который производится проектирование, применяют формулу отношения произведения к длине направления.

Пусть скалярное произведение задано как $\vec{a} \cdot \vec{b} = -21$, а длина вектора $\vec{b}$ равна $b = 7$.

Вычислим скалярную проекцию вектора $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$ по формуле $\text{pr}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{b}$.

Подставим числовые значения: $\text{pr}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{-21}{7} = -3$.

Отрицательный знак показывает, что проекция направлена противоположно вектору $\vec{b}$, а угол между ними тупой.

Частые ошибки

• Деление скалярного произведения на модуль проектируемого вектора вместо модуля вектора, на который проектируют.
• Игнорирование отрицательного знака проекции при тупом угле между векторами.
• Путаница между скалярной проекцией, выраженной числом, и векторной проекцией, выраженной вектором.

Коротко

Для вычисления проекции нужно разделить скалярное произведение векторов на длину того вектора, на который происходит проектирование. Теперь вы знаете, как найти проекцию вектора на вектор с помощью простых алгебраических формул.