Как найти обратную функцию

Разберёмся, как найти обратную функцию для заданной зависимости $y = f(x)$. Сначала необходимо проверить монотонность исходной функции: она должна быть строго возрастающей или убывающей на всей области определения. Затем выразите переменную $x$ через $y$, используя стандартные алгебраические преобразования. В полученном выражении поменяйте местами переменные $x$ и $y$. В итоге образуется искомая обратная функция $y = f^{-1}(x)$, график которой симметричен исходному относительно прямой $y = x$.

$y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{-1}(y)$

Разбор по случаям

Примеры

Линейная функция. Найдем выражение для функции $y = 2x + 4$. Исходная линейная функция строго возрастает на всей области определения. Пошагово выразим переменную $x$ через $y$: сначала перенесём слагаемое, получив $2x = y - 4$, а затем разделим на два: $x = \frac{y - 4}{2}$. Поменяв местами обозначения $x$ и $y$, получаем формулу $y = 0{,}5x - 2$. Это итоговая обратная функция.

Квадратичная функция с ограничением. Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - 1$ на промежутке $x \ge 0$. На этом луче функция строго возрастает, что гарантирует существование обратного соответствия. Выразим переменную $x$ через $y$: запишем $x^2 = y + 1$, откуда с учётом неотрицательности $x$ находим $x = \sqrt{y + 1}$. Поменяв местами $x$ и $y$, получаем $y = \sqrt{x + 1}$ при $x \ge -1$.

Дробно-линейная функция. Найдем обратную функцию для дробно-линейной зависимости $y = \frac{2x + 1}{x - 3}$ на ее области определения $x \neq 3$. Функция строго монотонна на интервале $(3; +\infty)$, поэтому она имеет обратную. Сначала выразим переменную $x$ через $y$. Для этого умножим обе части уравнения на знаменатель $x - 3$, получим $y(x - 3) = 2x + 1$. Раскроем скобки в левой части: $xy - 3y = 2x + 1$. Перенесем все слагаемые с $x$ влево: $xy - 2x = 3y + 1$. Вынесем $x$ за скобки: $x(y - 2) = 3y + 1$. Отсюда выразим $x = \frac{3y + 1}{y - 2}$. Поменяем переменные местами. В результате получим искомую обратную функцию $y = \frac{3x + 1}{x - 2}$, которая определена для всех значений $x \neq 2$.

Частые ошибки

• Забывают проверить монотонность исходной функции на заданном промежутке перед нахождением обратной.
• Не меняют переменные x и y местами в самом конце алгебраических преобразований.
• Забывают пересчитать область определения и область значений для полученного выражения.

Коротко

Теперь вы знаете, как найти обратную функцию с помощью проверки монотонности и последовательного выражений переменных. Грамотно найденная обратная функция позволяет легко находить значения аргумента и строить симметричные графики.