Как найти определитель матрицы 3х3

Разбирая вопрос, как найти определитель матрицы 3х3, обычно используют три основных метода: правило Саррюса, метод треугольников или разложение по элементам строки либо столбца. Чтобы вычислить определитель матрицы 3х3 по правилу треугольников, нужно сложить произведения элементов на главной диагонали и в вершинах двух параллельных ей треугольников, а затем вычесть произведения элементов на побочной диагонали и в вершинах противоположных треугольников.

$\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$

Разбор по случаям

Примеры

Метод треугольников. Вычислим определитель матрицы $A$ с элементами первой строки $(1, 2, 3)$, второй $(4, 5, 6)$ и третьей $(7, 8, 9)$. Главная диагональ даст $1 \cdot 5 \cdot 9 = 45$, треугольники со знаком плюс: $2 \cdot 6 \cdot 7 = 84$ и $3 \cdot 4 \cdot 8 = 96$. Побочная диагональ: $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$, треугольники со знаком минус: $1 \cdot 6 \cdot 8 = 48$ и $2 \cdot 4 \cdot 9 = 72$.

Итого: $45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72 = 0$.

Разложение по строке. Найдем определитель матрицы с первой строкой $(2, 0, 1)$, второй $(3, 4, 2)$ и третьей $(1, 1, 5)$.

Разложим по первой строке: $2 \cdot (4 \cdot 5 - 2 \cdot 1) - 0 + 1 \cdot (3 \cdot 1 - 4 \cdot 1)$.

Считаем миноры: $2 \cdot (20 - 2) + 1 \cdot (3 - 4) = 2 \cdot 18 + 1 \cdot (-1) = 36 - 1 = 35$.

Искомый определитель матрицы 3х3 равен $35$.

Правило Саррюса (дописывание столбцов). Найдем определитель матрицы $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$, используя классическое правило Саррюса путем явного дописывания первых двух столбцов справа от исходной матрицы.

Сначала вычисляем сумму произведений элементов по трем диагоналям, идущим сверху вниз и слева направо: $2 \cdot 3 \cdot 1 + 1 \cdot 4 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \cdot 2 = 6 + 0 + 0 = 6$.

Затем аналогично находим сумму произведений по трем диагоналям, идущим снизу вверх и слева направо: $0 \cdot 3 \cdot 0 + 2 \cdot 4 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot 1 = 0 + 16 + 1 = 17$.

Окончательное значение определителя равно разности найденных сумм: $\det(A) = 6 - 17 = -11$.

Частые ошибки

• Путаница со знаками алгебраических дополнений при разложении по строке или столбцу.
• Ошибки в знаках при вычитании элементов побочной диагонали в правиле Саррюса.
• Забытое умножение элементов строки на соответствующие им алгебраические дополнения.

Коротко

В учебной практике вопрос о том, как найти определитель матрицы 3х3, решается выборкой наиболее удобного метода: правила треугольников или разложения по строке. Качественный расчет определителя матрицы 3х3 требует внимательного учета знаков перед слагаемыми и правильного вычисления миноров второго порядка.