Как найти отклонения от среднего арифметического

Чтобы понять, как найти отклонения от среднего арифметического, сначала вычисляют среднее значение всего исходного числового ряда. Затем из каждого отдельного элемента последовательно вычитают найденную среднюю величину по базовой формуле. В результате получается новый числовой ряд, где каждое значение указывает, насколько исходное число больше или меньше общего среднего. Важное свойство вычислений заключается в том, что алгебраическая сумма всех отклонений всегда равна нулю.

$d_i = x_i - \bar{x}$

Разбор по случаям

Примеры

Числовой ряд из трех элементов. Рассмотри исходный набор данных из трех чисел: $2$, $5$ и $11$.

Первым шагом вычисляем их среднее арифметическое значение: $\bar{x} = (2 + 5 + 11) / 3 = 6$.

Далее находим отклонения от среднего арифметического для каждого значения поочередно: $d_1 = 2 - 6 = -4$, $d_2 = 5 - 6 = -1$, $d_3 = 11 - 6 = 5$. Выполняем обязательную итоговую проверку правильности проведенных расчетов путем полного сложения всех полученных разностей: $-4 + (-1) + 5 = 0$. Нулевая сумма подтверждает корректность вычислений.

Данные с отрицательными величинами. Дана короткая числовая выборка из двух элементов с отрицательной величиной: $-2$ и $6$.

Вычисляем общее среднее арифметическое этой выборки: $\bar{x} = (-2 + 6) / 2 = 2$.

Рассчитываем последовательно разности для каждого элемента: для первого числа $d_1 = -2 - 2 = -4$, для второго числа $d_2 = 6 - 2 = 4$. В сумме найденные числа дают $-4 + 4 = 0$, что точно соответствует свойству нулевой суммы.

Восстановление элементов по отклонениям. Пусть средняя выработка рабочих в цехе составляет 150 деталей в смену. Для первого рабочего его индивидуальное отклонение от среднего арифметического значения равно -12 деталей. Для второго рабочего отклонение составляет +8 деталей. Чтобы найти фактическую выработку каждого сотрудника, прибавим величину соответствующего отклонения к среднему значению: $x_1 = 150 + (-12) = 138$ деталей, $x_2 = 150 + 8 = 158$ деталей. Проверим свойство нулевой суммы: если отклонение третьего рабочего равно +4 детали, то его результат равен $x_3 = 150 + 4 = 154$ детали, а алгебраическая сумма всех трех отклонений дает точный ноль: $-12 + 8 + 4 = 0$.

Частые ошибки

• Вычитание элемента выборки из среднего значения вместо вычитания среднего из элемента.
• Округление промежуточного среднего арифметического, приводящее к ненулевой сумме отклонений.
• Замена сложения отклонений их модулями при итоговой проверке правильности вычислений.

Коротко

Данный разбор подробно объясняет, как найти отклонения от среднего арифметического путем вычитания средней величины из всех элементов ряда. Правильно вычисленные отклонения от среднего арифметического в совокупности всегда дают нуль.