Как оценивают математическое ожидание случайной величины

Разберем, как оценивают математическое ожидание случайной величины на практике. Для этого используют точечную оценку в виде выборочного среднего арифметического всех наблюдений. Если распределение признака неизвестно, выборочное среднее служит несмещенной и состоятельной оценкой генерального среднего. В случаях, когда необходима высокая точность результатов, строят интервальную оценку с заданным уровнем доверия. Такая оценка математического ожидания случайной величины позволяет определить границы, в которые попадет истинный параметр.

$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$

Разбор по случаям

Примеры

Точечная оценка по выборке. Дана выборка значений случайной величины: $12, 15, 14, 11, 18$.

Найдем выборочное среднее по формуле $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum X_i$.

Сложим все элементы: $12 + 15 + 14 + 11 + 18 = 70$.

Разделим полученную сумму на количество наблюдений $n = 5$.

Получаем $\bar{X} = \frac{70}{5} = 14$.

Найдена точечная оценка математического ожидания случайной величины.

Интервальная оценка для среднего. Пусть среднее выборки $\bar{X} = 50$, число измерений $n = 100$, а известное стандартное отклонение $\sigma = 10$. Для уровня доверия $95\%$ критическое значение $Z = 1{,}96$.

Вычислим стандартную ошибку: $\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{10}{10} = 1$.

Границы интервала равны $50 \pm 1{,}96 \cdot 1$, то есть от $48{,}04$ до $51{,}96$. Построена интервальная оценка математического ожидания случайной величины.

Частые ошибки

• Путаница между точечной оценкой выборочного среднего и истинным математическим ожиданием генеральной совокупности.
• Использование формулы для нормального распределения при малой выборке с неизвестной дисперсией вместо критерия Стьюдента.
• Вычисление обычного среднего арифметического для сгруппированных данных без учета частот отдельных вариантов.

Коротко

В математической статистике основное правило того, как оценивают математическое ожидание случайной величины, заключается в расчете выборочного среднего арифметического. Надежная оценка математического ожидания случайной величины дополняется доверительным интервалом для учета случайных погрешностей измерений.