Как строить графики в логарифмическом масштабе

Понимание того, как строить графики в логарифмическом масштабе, необходимо для спрямления экспоненциальных и степенных зависимостей. Построение графиков в логарифмическом масштабе выполняется путем прологарифмирования исходных значений величин. Для полулогарифмической шкалы логарифмируют только одну ось (обычно ось ординат), а при создании двойного логарифмического масштаба логарифмируют данные по обеим осям. Нанесенные на плоскость точки образуют прямую линию, по угловому коэффициенту которой находят неизвестные параметры исходной функции.

$Y = \lg(y), \quad X = \lg(x)$

Разбор по случаям

Примеры

Полулогарифмический масштаб. Дана зависимость процесса $y = 3 \cdot e^{2x}$. Чтобы выполнить построение графиков в логарифмическом масштабе, логарифмируем левую и правую части по натуральному основанию: $\ln(y) = \ln(3) + 2x$. Обозначив $Y = \ln(y)$, получаем линейную функцию $Y = 2x + 1{,}1$. На оси $X$ откладываем аргумент $x$, а на оси $Y$ — значения $\ln(y)$. График превращается в прямую линию с угловым коэффициентом $k = 2$.

Двойной логарифмический масштаб. Рассмотрим физическую степенную зависимость $y = 5 \cdot x^{1{,}5}$.

Прологарифмируем обе части уравнения по десятичному основанию: $\lg(y) = \lg(5) + 1{,}5 \lg(x)$.

С помощью замены переменных $Y = \lg(y)$ и $X = \lg(x)$ переходим к линейному выражению $Y = 0{,}7 + 1{,}5 X$. Наносим полученные точки в новых координатах $(X, Y)$ на плоскость. В результате строим прямую линию, тангенс угла наклона которой точно равен показателю степени $1{,}5$.

Частые ошибки

• Откладывание значений аргумента на логарифмической оси без предварительного вычисления их логарифмов при отсутствии специальной бумажной сетки.
• Логарифмирование отрицательных чисел или нулевых значений, для которых логарифм математически не определен.
• Путаница между полулогарифмическим и двойным логарифмическим масштабом при анализе степенных и экспоненциальных функций.

Коротко

Мы подробно разобрали, как строить графики в логарифмическом масштабе с использованием вычисления логарифмов координат. Грамотное построение графиков в логарифмическом масштабе позволяет легко линейаризовать сложные нелинейные функции и определять их неизвестные параметры.