Как найти скалярное произведение векторов по координатам

Чтобы понять, как найти скалярное произведение векторов по координатам, перемножьте их соответствующие компоненты и сложите полученные результаты. Для двумерных векторов умножаются абсциссы и ординаты, а для трехмерных добавляется произведение аппликат. Вычисленное скалярное произведение векторов по координатам выражается числом. Если полученное значение равно нулю, заданные векторы перпендикулярны, а при положительном значении угол между ними острый.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$

Разбор по случаям

Примеры

Двумерный случай. Дано: векторы $\vec{a}(3, -4)$ и $\vec{b}(2, 5)$. Найдём их скалярное произведение на плоскости. Перемножаем первые координаты $3 \cdot 2 = 6$, затем вторые координаты $(-4) \cdot 5 = -20$. Складываем полученные числа: $6 + (-20) = -14$. Ответ: скалярное произведение векторов по координатам равно $-14$, угол между векторами тупой.

Трехмерный случай. Дано: векторы $\vec{a}(1, 0, 4)$ и $\vec{b}(5, -2, -1)$. Вычислим произведение в пространстве по формуле. Выполняем умножение по осям: $1 \cdot 5 = 5$, $0 \cdot (-2) = 0$, $4 \cdot (-1) = -4$. Складываем произведения: $5 + 0 + (-4) = 1$. Ответ: скалярное произведение векторов по координатам равно $1$.

Разложение по ортам. Даны два вектора, заданные линейной комбинацией единичных ортов декартовой системы координат: $a = 3i - 4j + 2k$ и $b = -2i + 0j + 5k$. Сначала определим числовые координаты каждого из векторов, выписав коэффициенты при базисных ортах. Для вектора $a$ получаем компоненты $a(3, -4, 2)$, а для вектора $b$ получаем компоненты $b(-2, 0, 5)$. Вычислим скалярное произведение путем перемножения одноименных координат с последующим суммированием. Произведение абсцисс дает $3 \cdot (-2) = -6$, произведение ординат составляет $(-4) \cdot 0 = 0$, произведение аппликат равно $2 \cdot 5 = 10$. Сложим полученные произведения: $-6 + 0 + 10 = 4$. В результате вычислений скалярное произведение векторов равно $4$.

Частые ошибки

• Перемножение одинаковых координат вместо их сложения приводит к вектору вместо скаляра.
• Ошибки в знаках при умножении отрицательных компонент искажают итоговый результат.
• Подстановка координат точек вместо предварительного расчета координат самих векторов недопустима.

Коротко

Вычислить скалярное произведение векторов по координатам можно путем суммирования произведений их одноименных компонент. Теперь вы знаете, как найти скалярное произведение векторов по координатам на плоскости и в пространстве.