Номер 1233 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев

Решение

Переносим и раскладываем

$$p^2-1=2q^2 \ \Rightarrow\ (p-1)(p+1)=2q^2$$

Проверяем $p=2$

при $p=2$: $4-1=3=2q^2$ — не даёт целого $q$, значит $p$ нечётно, а тогда $p-1$ и $p+1$ — два последовательных чётных числа

Выражаем через $q^2$

при нечётном $p$: $p-1=2a$, $p+1=2a+2$, тогда $(p-1)(p+1)=4a(a+1)=2q^2 \Rightarrow q^2=2a(a+1)$ — значит $q^2$, а вместе с ним и $q$, чётно

Единственное чётное простое $q=2$

$$q=2 \ \Rightarrow\ 4=2a(a+1) \ \Rightarrow\ a(a+1)=2 \ \Rightarrow\ a=1$$

Находим $p$

$$p-1=2a=2 \ \Rightarrow\ p=3$$

Почему так

Проверка: $3^2-2\cdot2^2=9-8=1$ — равенство верно, и оба числа $3$ и $2$ действительно простые.

Где здесь ошибаются

Ошибка — не проверить отдельно случай $p=2$ и потерять условие нечётности при разложении на множители.

Вторая ошибка — не заметить, что $q$ обязано быть чётным, и впустую перебирать нечётные простые $q$.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.