Как найти биссектрису угла

Задаваясь вопросом, как найти биссектрису угла, используют геометрическое построение или математический расчет. Биссектриса делит угол пополам, поэтому геометрически ее строят с помощью циркуля и линейки, проводя луч из вершины через точку пересечения вспомогательных окружностей. В треугольнике биссектрису можно найти по длине двух прилежащих сторон и углу между ними, а также с помощью теоремы о пропорциональных отрезках противоположной стороны.

$l_a = \frac{2bc \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{b + c}$

Разбор по случаям

Примеры

Расчет по сторонам и углу. Найдем биссектрису $l_a$ треугольника со сторонами $b = 6\text{ cm}$, $c = 4\text{ cm}$ и углом $\alpha = 60^\circ$.

Подставим значения в формулу: $l_a = \frac{2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \cos 30^\circ}{6 + 4}$.

Так как $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем $l_a = \frac{48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{10} = 2{,}4\sqrt{3}\text{ cm}$.

Длина биссектрисы вычислена верно.

Построение циркулем. Чтобы построить биссектрису угла $A$, проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине $A$. Она пересечет стороны угла в точках $M$ и $N$. Из этих точек проведем две окружности одинакового радиуса до их пересечения в точке $K$. Луч $AK$ — искомая биссектриса. Данный алгоритм позволяет найти биссектрису угла точно без транспортира.

Расчет по сторонам и отрезкам противоположной стороны. Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором длины прилежащих к углу $A$ сторон равны $AC = 9$ см и $AB = 6$ см. Биссектриса $AD$ пересекает противоположную сторону $BC$ и делит её на два отрезка: $CD = 6$ см и $DB = 4$ см. Сначала убедимся в выполнении теоремы о биссектрисе: отношение сторон $AC / AB = 9 / 6 = 1,5$ равно отношению отрезков $CD / DB = 6 / 4 = 1,5$. Для нахождения длины отрезка $AD$ используем формулу $l_a = \sqrt{bc - mn}$. Найдём произведение сторон: $9 \cdot 6 = 54$. Найдём произведение отрезков: $6 \cdot 4 = 24$. Вычтем второе значение из первого: $54 - 24 = 30$.

Извлечём корень: $l_a = \sqrt{30} \approx 5,48$ см.

Искомая длина биссектрисы составляет $\sqrt{30}$ см.

Частые ошибки

• Деление противоположной стороны треугольника строго пополам вместо использования свойства пропорциональности.
• Ошибочное подставление полного угла вместо его половины в тригонометрическую формулу биссектрисы.
• Использование длины биссектрисы вместо медианы или высоты при проведении расчетов в произвольном треугольнике.

Коротко

Понимание того, как найти биссектрису угла, необходимо для решения задач по планиметрии и построений циркулем. Выбор метода зависит от исходных данных: геометрических инструментов, длин сторон или величины угла.