Как найти длину хорды

Отвечаем на вопрос, как найти длину хорды в геометрической задаче. Хордой называют отрезок, связывающий две точки окружности. Если задан радиус $R$ и центральный угол $\alpha$, длина хорды окружности находится по теореме синусов из равнобедренного треугольника. Когда в задаче дано расстояние $d$ от центра окружности до отрезка, вычисление выполняют через теорему Пифагора. Также вычислить величину можно через вписанный угол или свойства пересекающихся линий.

$L = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Разбор по случаям

Примеры

Расчёт через радиус и угол. В окружности радиусом $R = 12\text{ см}$ проведён центральный угол $\alpha = 90^\circ$. Требуется вычислить размер хорды. Используем формулу $L = 2R \sin(\alpha / 2)$.

Подставляем известные данные: $L = 2 \cdot 12 \cdot \sin(45^\circ) = 24 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}\text{ см}$.

Получаем, что искомая длина хорды окружности составляет $12\sqrt{2}\text{ см}$.

Расчёт через расстояние до центра. В задаче дан радиус $R = 10\text{ см}$ и перпендикуляр от центра фигуры к отрезку $d = 6\text{ см}$. Вспомним, что перпендикуляр делит хорду пополам, образуя прямоугольный треугольник.

По теореме Пифагора находим половину искомой длины: $\sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8\text{ см}$.

Умножаем полученное значение на два: $L = 2 \cdot 8 = 16\text{ см}$.

Расчёт через пересекающиеся хорды. В окружности пересекаются хорды $AB$ и $CD$ в точке $M$. Известно, что длина отрезка $AM = 3$ см, отрезка $MB = 8$ см, а отрезок $CM$ равен $6$ см. Требуется вычислить полную длину хорды $CD$. По свойству пересекающихся хорд произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой: $AM \cdot MB = CM \cdot MD$. Подставим известные величины в формулу: $3 \cdot 8 = 6 \cdot MD$. Получаем уравнение $24 = 6 \cdot MD$, откуда отрезок $MD = 4$ см. Длина всей хорды $CD$ равна сумме её частей $CM$ и $MD$. Складываем значения: $CD = 6 + 4 = 10$ см. Ответ: $10$ см.

Частые ошибки

• Путаница между центральным и вписанным углами при подстановке в формулу синуса.
• Забывание умножить на два катет прямоугольного треугольника при поиске хорды через расстояние до центра.
• Использование значения диаметра вместо радиуса в расчётных формулах.

Коротко

В этом материале мы подробно разобрали, как найти длину хорды с помощью различных геометрических формул и теорем. Измерив радиус и нужный угол или расстояние до центра, вы легко найдете искомую величину.