Как найти длину вектора

Вопрос о том, как найти длину вектора, решается с помощью теоремы Пифагора через его координаты. Длина вектора представляет собой модуль направленного отрезка, то есть расстояние между его начальной и конечной точками. На плоскости длина вектора рассчитывается как квадратный корень из суммы квадратов его координат x и y. В трехмерном пространстве к этой сумме под корнем добавляется квадрат третьей координаты z.

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Разбор по случаям

Примеры

Вектор на плоскости по двум точкам. Даны начальная точка $A(1, 3)$ и конечная точка $B(5, 6)$. Чтобы найти модуль направления, сперва вычислим координаты вектора $\vec{AB}$, вычитая из координат конца координаты начала: $x = 5 - 1 = 4$, а $y = 6 - 3 = 3$.

Далее подставим полученные числа под квадратный корень: $|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: длина вектора равна $5$.

Пространственный вектор. Даны координаты пространственного вектора $\vec{v}(-2, 4, 4)$. Для нахождения его модуля возведём все три координаты в квадрат, найдем их сумму и извлечем из неё квадратный корень.

Проведем вычисления: $|\vec{v}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$.

Каждая отрицательная координата при возведении в квадрат становится положительной. Ответ: длина вектора равна $6$.

Частые ошибки

• Забывают возводить отрицательные координаты в квадрат с получением положительного числа, из-за чего получают минус под корнем.
• Вычитают координаты конца из координат начала в обратном порядке при нахождении компонентов вектора.
• Забывают извлечь квадратный корень из полученной суммы квадратов координат в самом конце вычислений.

Коротко

Понимание того, как найти длину вектора, сводится к подстановке его координат в формулу квадратного корня из суммы их квадратов. Данный базовый алгоритм одинаково успешно применяется как в двумерной геометрии, так и в пространственных задачах.