Как найти длину отрезка

Как найти длину отрезка, зависит от исходных данных в геометрической задаче. На координатной плоскости длина отрезка определяется по формуле расстояния между двумя точками через разность их координат. В пространстве добавляется третья координатная ось. В обычных геометрических фигурах длина отрезка находится с помощью теоремы Пифагора, теоремы косинусов или через свойства средних линий и медиан. Выбор метода определяется известными элементами фигуры.

$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Разбор по случаям

Примеры

На плоскости по координатам. Дано: вершины отрезка $A(1, 2)$ и $B(4, 6)$. Найти длину отрезка $AB$. Решение: подставим координаты в формулу расстояния между точками.

Получаем $AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Длина отрезка $AB$ равна $5$ единицам.

Через теорему Пифагора. Дано: прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AC = 6$ см и $BC = 8$ см. Требуется найти длину отрезка $AB$, являющегося гипотенузой. Решение: по теореме Пифагора $AB^2 = AC^2 + BC^2$.

Подставим значения: $AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: $10$ см.

Через теорему косинусов. Дано: в произвольном треугольнике $ABC$ известны две стороны $AC = 6$ см и $BC = 10$ см, а также угол между ними $\angle C = 120^\circ$. Требуется найти длину отрезка $AB$, составляющего третью сторону этого треугольника.

Применяем теорему косинусов для вычисления неизвестной стороны: $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$.

Подставим числовые значения в формулу: $AB^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos(120^\circ)$.

Учитываем, что косинус тупого угла отрицателен: $\cos(120^\circ) = -0.5$.

Выполняем вычисления: $AB^2 = 36 + 100 - 120 \cdot (-0.5) = 136 + 60 = 196$.

Находим искомую длину отрезка $AB$ путем извлечения арифметического квадратного корня из полученного числа: $AB = \sqrt{196} = 14$ см. Ответ: длина отрезка $AB$ равна $14$ см.

Частые ошибки

• Забывают возводить разность координат в квадрат или ошибаются со знаками при вычитании отрицательных чисел.
• Извлекают квадратный корень из суммы слагаемых по отдельности, нарушая алгебраические правила.
• Путают формулу расстояния на плоскости с трехмерным пространством, теряя аппликату z.

Коротко

Подробное правило, объясняющее, как найти длину отрезка, помогает безошибочно решать задачи аналитической геометрии. Главное — правильно выбрать формулу исходя из условий: координаты точек, теорема Пифагора или теорема косинусов.