Как найти меньший угол равнобедренной трапеции

Разберем, как найти меньший угол равнобедренной трапеции. В равнобедренной трапеции углы при каждом из оснований равны, а меньшим всегда является острый угол при большем основании. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, составляет $180^\circ$.

Если известен больший тупой угол $\beta$, меньший угол $\alpha$ находится по формуле $\alpha = 180^\circ - \beta$.

Если известны основания и боковая сторона, меньший угол равнобедренной трапеции вычисляют через косинус из прямоугольного треугольника.

Разбор по случаям

Примеры

Расчет через известный больший угол. Дано: в равнобедренной трапеции $ABCD$ больший угол $\beta = 130^\circ$. Найдем меньший угол $\alpha$.

Поскольку сумма углов при боковой стороне равна $180^\circ$, вычисляем острый угол при большем основании: $\alpha = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.

Так как углы при основании равны, меньший угол равнобедренной трапеции составляет $50^\circ$. Ответ: $50^\circ$.

Расчет через стороны и высоту. Дано: основания трапеции $a = 14$ см, $b = 6$ см, боковая сторона $c = 5$ см. Сначала найдем катет прямоугольного треугольника: $x = \frac{14 - 6}{2} = 4$ см.

Теперь вычислим косинус острого угла: $\cos\alpha = \frac{4}{5} = 0{,}8$.

Значит, меньший угол равен $\arccos(0{,}8) \approx 37^\circ$.

Ответ: $37^\circ$.

Расчет через высоту и боковую сторону. Дана равнобедренная трапеция $ABCD$, у которой известна высота $h = 5$ см, а длина боковой стороны $AB = 10$ см. Для определения величины меньшего острого угла $\alpha$ при большем основании рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, боковой стороной $AB$ и проекцией боковой стороны на основание. В этом треугольнике высота $h$ служит катетом, противолежащим углу $\alpha$, а боковая сторона $AB$ является гипотенузой. По геометрическому определению синуса острого угла прямоугольного треугольника имеем $\sin \alpha = h / AB$.

Подставим числовые данные: $\sin \alpha = 5 / 10 = 0{,}5$.

Следовательно, искомый меньший угол равен $\alpha = \arcsin(0{,}5) = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

Частые ошибки

• Ошибочное приравнивание острого угла к тупому углу при разном основании.
• Путаница между суммой углов при боковой стороне и суммой углов при одном основании.
• Неверное вычисление проекции боковой стороны без деления разности оснований на два.

Коротко

Мы подробно разобрали, как найти меньший угол равнобедренной трапеции несколькими школьными методами. Знание базовых свойств углов и прямоугольного треугольника позволяет быстро вычислить искомый меньший угол равнобедренной трапеции в любой задаче.