Как найти площадь квадрата, вписанного в окружность

Чтобы понять, как найти площадь квадрата, вписанного в окружность, используют то, что диагональ квадрата равна диаметру окружности. Если известен радиус r, площадь считают по формуле S = 2r в квадрате. Если дан диаметр d, применяют формулу S = d в квадрате, делённое на 2. Оба способа дают одинаковый результат, так как диаметр равен удвоенному радиусу. Сторону квадрата при необходимости находят через диагональ, разделив её на корень из двух.

$S = 2r^2$

Разбор по случаям

Примеры

Известен радиус окружности. Радиус окружности равен $r = 5$ см. Диагональ квадрата равна диаметру окружности: $d = 2r = 10$ см.

Площадь через радиус: $S = 2r^2 = 2 \cdot 25 = 50$ см².

Сторона квадрата при этом равна $a = r\sqrt{2} \approx 7,07$ см, что легко проверить обратным вычислением через теорему Пифагора для прямоугольного треугольника.

Известен диаметр окружности. Диаметр окружности равен $d = 14$ см.

Площадь квадрата через диаметр: $S = \frac{d^2}{2} = \frac{196}{2} = 98$ см².

Радиус окружности при этом равен $r = 7$ см, а сторона квадрата $a = 7\sqrt{2} \approx 9,9$ см, что совпадает с расчётом через радиус по другой формуле.

Частые ошибки

• Часто путают диагональ квадрата со стороной и подставляют радиус в формулу площади прямоугольника вместо формулы квадрата.
• Забывают, что диагональ квадрата равна диаметру окружности, а не радиусу, и получают площадь ровно вдвое меньше правильной.
• При использовании диаметра вместо радиуса иногда оставляют формулу для радиуса и получают площадь сразу в четыре раза больше нужной.

Коротко

Разбор объясняет, как найти площадь квадрата, вписанного в окружность: диагональ квадрата равна диаметру, поэтому площадь считают как удвоенный квадрат радиуса или половину квадрата диаметра. Оба способа дают одинаковый и легко проверяемый результат для любой окружности и любого школьного учебника геометрии.