Как найти площадь правильного шестиугольника

Ответим на вопрос, как найти площадь правильного шестиугольника в школьном курсе геометрии. Эта геометрическая фигура состоит из шести равных равносторонних треугольников.

Если задана сторона $a$, вычисление проводится по базовой формуле $S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$.

Если известен радиус вписанной окружности $r$, то площадь правильного шестиугольника определяется выражением $S = 2\sqrt{3} r^2$. Также расчёт возможен через периметр и апофему фигуры.

Разбор по случаям

Примеры

Расчёт по стороне фигуры. Дано: сторона правильного шестиугольника $a = 6\text{ см}$. Найти: площадь фигуры $S$.

Решение: вычисление производим по формуле площади через сторону $S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$.

Подставим числовое значение в формулу: $S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 36 = 54\sqrt{3}\text{ см}^2$.

Ответ: $54\sqrt{3}\text{ см}^2$.

Расчёт по радиусу вписанной окружности. Дано: радиус вписанной окружности $r = 3\text{ см}$. Найти: площадь многоугольника $S$. Решение: для расчёта применяем формулу площади через вписанный радиус $S = 2\sqrt{3} r^2$.

Подставим данное числовое значение в исходное выражение: $S = 2\sqrt{3} \cdot 3^2 = 2\sqrt{3} \cdot 9 = 18\sqrt{3}\text{ см}^2$.

Ответ: $18\sqrt{3}\text{ см}^2$.

Расчёт по малой диагонали. Дано задание найти площадь правильного шестиугольника, у которого малая диагональ равна $6$ см. Малая диагональ соединяет две вершины фигуры через одну.

Взаимосвязь площади и малой диагонали выражается формулой $S = \frac{\sqrt{3}}{2} d^2$.

Возведем данную длину в квадрат: $6^2 = 36$.

Далее умножим полученное число на корень из трех и разделим на два: $S = \frac{36 \cdot \sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$ квадратных сантиметров.

Для нахождения точного значения оставим выражение с радикалом. Для практических вычислений используем приближенное значение квадратного корня: $18 \cdot 1{,}73 = 31{,}14$. Таким образом, искомая площадь заданного шестиугольника составляет примерно $31{,}14$ квадратных сантиметров.

Частые ошибки

• Ошибочное подставление радиуса вписанной окружности вместо стороны в основную формулу.
• Путаница между большей диагональю многоугольника и его малой диагональю.
• Забытое умножение площади одного внутреннего равностороннего треугольника на шесть.

Коротко

Теперь вы точно знаете, как найти площадь правильного шестиугольника по различным исходным данным задачи. Искомая площадь правильного шестиугольника легко находится путём разбиения фигуры на шесть равных треугольников.