Как найти площадь шестиугольника

Разберёмся, как найти площадь шестиугольника на уроках геометрии. Для правильной фигуры используют формулу через сторону $a$: вычисляется площадь шести равных равносторонних треугольников. Также площадь шестиугольника вычисляется через радиус описанной или вписанной окружности. Если фигура неправильная, её делят на простейшие части: треугольники, прямоугольники или трапеции, после чего суммируют их площади. Для координатной плоскости применяют специальную формулу Гаусса по координатам вершин.

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$

Разбор по случаям

Примеры

Правильный шестиугольник. Дано: правильный шестиугольник, длина стороны $a = 4\text{ см}$. Требуется найти площадь фигуры $S$.

Решение: применим известную формулу площади правильного шестиугольника через его сторону $S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$.

Подставим числовое значение стороны в расчётную формулу: $S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 16 = 24\sqrt{3}\text{ см}^2$.

Точный ответ запишем с квадратным корнем, а при необходимости вычислений получим около $41{,}57\text{ см}^2$. Ответ: $24\sqrt{3}\text{ см}^2$.

Через радиус вписанной окружности. Дано: правильный шестиугольник, радиус вписанной окружности $r = 3\text{ см}$. Найти площадь фигуры $S$. Решение: вычислим площадь правильного шестиугольника по известной формуле через радиус вписанной окружности $S = 2\sqrt{3} r^2$.

Подставим значение радиуса в формулу: $S = 2\sqrt{3} \cdot 3^2 = 2\sqrt{3} \cdot 9 = 18\sqrt{3}\text{ см}^2$.

Получаем точное значение выражения с корнем, которое приближенно равно $31{,}18\text{ см}^2$. Ответ: $18\sqrt{3}\text{ см}^2$.

Через большую диагональ. Найдем площадь правильного шестиугольника, если его большая диагональ равна $12$ см. Большая диагональ соединяет противоположные вершины и проходит через центр фигуры. Она равна двум сторонам правильного шестиугольника, поэтому длина стороны равна $a = 6$ см.

Для вычисления площади подставим значение диагонали в формулу $S = \frac{3\sqrt{3}}{8} D^2$.

Возведем диагональ в квадрат: $D^2 = 144$.

Вычислим итоговую площадь: $S = \frac{3\sqrt{3}}{8} \cdot 144 = 54\sqrt{3}$ кв. см.

При необходимости перевода в десятичную дробь используем приближение корня $\sqrt{3} \approx 1,732$.

Перемножив числа, получим $54 \cdot 1,732 \approx 93,53$ кв. см.

Точный ответ равен $54\sqrt{3}$ кв. см, а округленный результат составляет $93,53$ кв. см.

Частые ошибки

• Подстановка радиуса описанной окружности вместо длины стороны в формулу без учёта их равенства.
• Использование формул правильной фигуры для расчета параметров произвольного неправильного шестиугольника.
• Ошибки при вычислении площади базового равностороннего треугольника и забывание умножить её на шесть.

Коротко

Теперь вы знаете, как найти площадь шестиугольника с помощью базовых геометрических формул и методов разбиения. Точная площадь шестиугольника вычисляется через сторону или радиус окружности.