Как найти смежный угол

Чтобы понять, как найти смежный угол, необходимо использовать основное свойство: сумма двух смежных углов всегда равна $180^\circ$. Если известна величина одного угла, второй находится вычитанием его значения из $180^\circ$. В задачах с пропорциями или уравнениями неизвестный угол выражают через переменную $x$. Градусная мера смежного угла всегда находится в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$, а их общая сторона образует прямую линию.

$\alpha + \beta = 180^\circ \implies \beta = 180^\circ - \alpha$

Разбор по случаям

Примеры

Вычисление по известному углу. Дано: один из смежных углов равен $\alpha = 65^\circ$. Требуется найти смежный угол $\beta$.

Решение: по теореме о смежных углах их сумма составляет $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Подставляем значение первого угла в формулу: $\beta = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$.

Ответ: искомый смежный угол равен $115^\circ$.

Задача на пропорцию углов. Дано: градусные меры смежных углов относятся как $2 : 3$. Требуется найти смежный угол большей величины. Решение: пусть одна часть равна $x$, тогда углы равны $2x$ и $3x$. Составим уравнение: $2x + 3x = 180^\circ$, откуда $5x = 180^\circ$ и $x = 36^\circ$.

Больший угол равен $3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$.

Ответ: искомый угол равен $108^\circ$.

Вычисление углов через кратное соотношение. Даны два смежных угла, причём один из них в $3$ раза больше другого. Найдём градусную меру каждого из этих углов. Для решения обозначим меньшую величину через переменную $x$. Тогда второй, больший угол будет равен $3x$. По известному свойству смежных углов их общая сумма равна $180^\circ$. Составим линейное уравнение: $x + 3x = 180^\circ$. Приведём подобные слагаемые и получим $4x = 180^\circ$. Разделим обе части уравнения на $4$, откуда $x = 45^\circ$. Следовательно, значение меньшего угла составляет $45^\circ$.

Вычислим больший угол: $3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.

Проверка показывает $45^\circ + 135^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $45^\circ$ и $135^\circ$.

Частые ошибки

• Приравнивание суммы смежных углов к $90^\circ$ вместо $180^\circ$ является частой ошибкой.
• Путаница между смежными и вертикальными углами приводит к неверному выбору формулы.
• Забывание свойства развёрнутого угла при составлении алгебраического уравнения искажает конечный результат.

Коротко

Знание свойства теоремы о сумме смежных углов позволяет быстро понять, как найти смежный угол в любой геометрической задаче. Достаточно вычесть известный угол из $180^\circ$ или решить простое линейное уравнение для искомой величины.