Как найти угол между векторами

Многих учащихся интересует вопрос, как найти угол между векторами при решении задач геометрии. Для этого используют формулу косинуса угла через скалярное произведение. Сначала вычисляют скалярное произведение двух векторов, перемножая их соответствующие координаты и складывая результаты. Затем находят длины каждого вектора как квадратный корень из суммы квадратов координат. Разделив скалярное произведение на произведение длин векторов, получают косинус, а сам угол между векторами определяют через арккосинус.

$\cos \alpha = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$

Разбор по случаям

Примеры

Плоские векторы. Найдем угол между векторами $\vec{a} = (3, 4)$ и $\vec{b} = (4, 3)$.

Вычисляем скалярное произведение: $3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 = 12 + 12 = 24$.

Длины векторов равны $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ и $|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.

Значение косинуса составит $\cos \alpha = \frac{24}{5 \cdot 5} = \frac{24}{25} = 0{,}96$.

Угол искомого значения равен $\arccos(0{,}96) \approx 16{,}26^\circ$.

Пространственные векторы. Даны пространственные векторы $\vec{a} = (1, 0, 1)$ и $\vec{b} = (0, 1, 1)$.

Находим их скалярное произведение: $1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1$.

Длины каждого из векторов составляют $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ и $|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Вычисляем косинус: $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} = 0{,}5$.

Следовательно, угол между ними равен $60^\circ$.

Угол между векторами по точкам. Даны координаты трех вершин $A(1, 2)$, $B(4, 6)$ и $C(1, 6)$. Требуется определить градусную меру угла $A$ между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Сперва перейдем от точек к координатам векторов путем вычитания начальных координат из конечных: $\vec{AB} = (4 - 1, 6 - 2) = (3, 4)$, а $\vec{AC} = (1 - 1, 6 - 2) = (0, 4)$.

Вычислим скалярное произведение полученных векторов: $3 \cdot 0 + 4 \cdot 4 = 16$.

Напишем и вычислим длины обоих векторов: длина первого составляет $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$, длина второго равна $\sqrt{0^2 + 4^2} = 4$.

Разделим скалярное произведение на произведение их длин: $\cos \alpha = \frac{16}{5 \cdot 4} = \frac{16}{20} = 0,8$.

В результате получаем угол $\alpha = \arccos(0,8) \approx 36,87^\circ$, округляя значение до сотых долей градуса.

Частые ошибки

• Забывают извлечь квадратный корень при нахождении длин векторов.
• Путают знаки координат при вычислении скалярного произведения.
• Считают, что отрицательное значение косинуса указывает на ошибку, забывая про тупой угол между векторами.

Коротко

Понимание того, как найти угол между векторами, помогает успешно решать геометрические и физические задачи. Главное — последовательно вычислить скалярное произведение, длины векторов и найти арккосинус полученного отношения.