Что такое целое и натуральное число

Натуральное число — это число, которым пользуются при счёте предметов: 1, 2, 3 и так далее без конца. Целое число — понятие шире: сюда входят все натуральные числа, числа, им противоположные, и ноль. Что такое целое и натуральное число, показывает именно это соотношение: натуральные числа — лишь часть целых чисел, а не совпадают с ними полностью. У целых чисел, в отличие от натуральных, есть отрицательные значения и ноль.

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$

Разбор по случаям

Примеры

Проверка: натуральное, целое или ни то ни другое. Число $5$ является и натуральным, и целым, потому что входит в оба множества: $5$ получают при счёте предметов, и оно же принадлежит ряду целых чисел. Число $-5$ целое, но не натуральное, так как отрицательные числа не входят в множество натуральных чисел. Число $3,5$ не является ни целым, ни натуральным из-за дробной части после запятой.

Ноль в двух множествах. Число $0$ — целое число, потому что входит в ряд $\{\ldots, -1, 0, 1, \ldots\}$, но не натуральное, поскольку в российской школьной традиции натуральный ряд начинается с единицы.

Этот пример показывает: не всякое целое число одновременно натуральное, хотя обратное — каждое натуральное число целое — верно всегда без исключений.

Частые ошибки

• Считают целые и натуральные числа одним и тем же множеством, забывая про отрицательные числа и ноль у целых.
• Полагают, что ноль — натуральное число, хотя в российской школьной традиции натуральный ряд начинается с единицы.
• Не учитывают, что каждое натуральное число обязательно целое, и ищут несуществующие исключения из этого правила.

Коротко

Натуральное число служит для счёта предметов, а целое число — более широкое понятие, включающее натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и ноль. Что такое целое и натуральное число, легко различить по одному признаку: у натуральных чисел нет ни нуля, ни отрицательных значений.