Как определить ранг матрицы

Вопрос о том, как определить ранг матрицы, сводится к поиску наивысшего порядка отличного от нуля минора или количества ненулевых строк после приведения к ступенчатому виду. На практике ранг матрицы находят путем элементарных преобразований строк и столбцов: перестановкой строк, умножением на ненулевое число и прибавлением одной строки к другой. Полученное число ненулевых строк ступенчатой матрицы точно равняется ее искомому рангу.

$\operatorname{rg}(A) = r$

Разбор по случаям

Примеры

Метод Гаусса. Дана матрица $A$ размера $2 \times 3$ со строками $(1, 2, 3)$ и $(2, 4, 6)$. Вычтем из второй строки первую строку, умноженную на $2$. Получаем вторую строку $(0, 0, 0)$. В итоге ступенчатая матрица содержит ровно одну ненулевую строку $(1, 2, 3)$. Следовательно, ранг матрицы равен $1$, что записывается как $\operatorname{rg}(A) = 1$.

Метод миноров. Найдем ранг матрицы $B$ размера $2 \times 2$ с элементами $(1, 2)$ в первой строке и $(3, 4)$ во второй.

Вычислим ее определитель: $\det(B) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2$.

Так как определитель второго порядка не равен нулю, наибольший ненулевой минор имеет порядок $2$. Значит, ранг матрицы равен $2$, то есть $\operatorname{rg}(B) = 2$.

Критерий невырожденности. Определим ранг квадратной матрицы $A$ порядка $3$ с помощью критерия невырожденности.

Рассмотрим матрицу: $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}$.

Вычислим определитель данной матрицы, используя разложение по элементам первой строки: $\det A = 2 \cdot (12 - 1) - 1 \cdot (4 - 0) + 0 = 22 - 4 = 18$.

Значение определителя отлично от нуля ($\det A \neq 0$), поэтому система строк матрицы является линейно независимой, а сама матрица — невырожденной. Согласно теореме о ранге невырожденной матрицы, ее ранг совпадает с ее порядком. Ответ: $\text{rank}(A) = 3$.

Частые ошибки

• Ошибка при выполнении элементарных преобразований над строками приводит к неверному числу ненулевых строк.
• Путаница между определителем матрицы и ее рангом часто возникает у начинающих студентов.
• Забывание того, что ранг матрицы не может превышать наименьший из ее размеров, ведет к ложным расчетам.

Коротко

Главный способ, показывающий, как определить ранг матрицы — это приведение ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований Гаусса. Грамотно вычисленный ранг матрицы позволяет быстро проверить систему линейных уравнений на совместность.