Формула барьера Пайерлса

Формула барьера Пайерлса определяет минимальное касательное напряжение, необходимое для движения дислокации в идеальном кристалле без участия тепловых флуктуаций.

Данная математическая зависимость имеет вид $\tau_P = \frac{2G}{1-\nu} \exp\left(-\frac{2\pi a}{(1-\nu)b}\right)$, где $G$ обозначает модуль сдвига материала, $\nu$ — коэффициент Пуассона, $a$ — расстояние между скользящими атомными плоскостями, а $b$ — модуль вектора Бюргерса.

Высокий барьер Пайерлса характерен для ковалентных кристаллов.

Разбор по случаям

Примеры

Расчёт напряжения Пайерлса для металлов. Дано: модуль сдвига $G = 40\text{ ГПа}$, коэффициент Пуассона $\nu = 0{,}3$, отношение межплоскостного расстояния к вектору Бюргерса $a/b = 1{,}2$.

Подставляем значения в выражение: $\tau_P = \frac{2 \cdot 40}{1 - 0{,}3} \exp\left(-\frac{2\pi \cdot 1{,}2}{1 - 0{,}3}\right) = \frac{80}{0{,}7} \exp\left(-10{,}77\right) \approx 114{,}3 \cdot 2{,}1 \cdot 10^{-5} \text{ ГПа} \approx 2{,}4\text{ МПа}$.

Относительно низкое значение объясняет пластичность большинства металлов.

Оценка ширины ядра дислокации. Дано: напряжение решёточного сопротивления $\tau_P = 10^{-4} G$. Требуется найти ширину дислокации $w/b$.

Используем экспоненциальное соотношение $\tau_P / G = \exp(-2\pi w / b)$.

Прологарифмировав обе части, получаем $\ln(10^{-4}) = -2\pi w / b$.

Отсюда $-9{,}21 = -6{,}28 w / b$, что даёт отношение $w/b \approx 1{,}47$. Широкое ядро дислокации обеспечивает высокий уровень пластической деформации кристалла при нормальных условиях.

Напряжение Пайерлса для ковалентных кристаллов. Для ковалентного полупроводникового кристалла германия с модулем сдвига $G = 41\text{ GPa}$, коэффициентом Пуассона $\nu = 0,26$, межплоскостным расстоянием $a = 0,20\text{ nm}$ и вектором Бюргерса $b = 0,40\text{ nm}$ выполняется подробный расчёт решёточного сопротивления движению дислокации.

Эффективная ширина ядра дислокации составляет $w = \frac{a}{1 - \nu} \approx 0,27\text{ nm}$.

Применение классического уравнения $\tau_P = \frac{2G}{1 - \nu} \exp\left(-\frac{2\pi w}{b}\right)$ приводит к конечному численному выражению $\tau_P = \frac{2 \cdot 41}{0,74} \exp\left(-\frac{2\pi \cdot 0,27}{0,40}\right) \approx 110,8 \cdot 0,0144 \approx 1,60\text{ GPa}$.

Полученный результат $1,60\text{ GPa}$ полностью отражает высокий критический барьер Пайерлса, характерный для кристаллов с жёсткими направленными ковалентными связями.

Частые ошибки

• Путаница между межплоскостным расстоянием $a$ и постоянной кристаллической решётки.
• Пренебрежение экспоненциальной зависимостью при анализе ширины ядра дислокации.
• Экстраполяция решёточного напряжения на высокие температуры без учёта термической активации.

Коротко

В физике прочности формула барьера Пайерлса играет ключевую роль при объяснении решёточного трения дислокаций. Правильное применение модели позволяет оценивать критическое напряжение сдвига и пластические свойства кристаллов при различных температурах.