Как найти сопротивление бесконечной цепи

Чтобы понять, как найти сопротивление бесконечной цепи, используют метод выделения повторяющегося элемента. Поскольку цепь бесконечна, отбрасывание одного периодического звена не меняет её общее эквивалентное сопротивление $R_x$. Входное сопротивление бесконечной цепи приравнивают к сопротивлению одного звена, подключенного последовательно или параллельно к такому же эквиваленту $R_x$. В результате получается алгебраическое уравнение, из которого находят положительный корень $R_x$.

$R_x = R_1 + \frac{R_2 \cdot R_x}{R_2 + R_x}$

Разбор по случаям

Примеры

Г-образная цепь с одинаковыми $R$. Дано: бесконечная цепочка, где продольные и поперечные резисторы равны $R = 10\text{ Ом}$. Решение: выделим первое звено. Сопротивление всей цепи за ним равно $R_x$.

Составим уравнение $R_x = R + \frac{R \cdot R_x}{R + R_x}$.

Подставим значения: $R_x = 10 + \frac{10 R_x}{10 + R_x}$.

Умножим на $(10 + R_x)$: $R_x^2 - 10 R_x - 100 = 0$.

Положительный корень: $R_x = 5 + 5\sqrt{5} \approx 16.18\text{ Ом}$.

Ответ: $16.18\text{ Ом}$.

Цепь из разных резисторов. Дано: продольные резисторы $R_1 = 2\text{ Ом}$, поперечные $R_2 = 3\text{ Ом}$. Решение: заменим бесконечный хвост схемы эквивалентом $R_x$.

Составим уравнение эквивалентного сопротивления $R_x = R_1 + \frac{R_2 R_x}{R_2 + R_x}$.

Подставляем числа: $R_x = 2 + \frac{3 R_x}{3 + R_x}$.

Преобразуем в квадратное уравнение: $R_x^2 - 2 R_x - 6 = 0$.

Находим положительный корень: $R_x = 1 + \sqrt{7} \approx 3.65\text{ Ом}$.

Ответ: $3.65\text{ Ом}$.

Двоичное дерево из одинаковых резисторов. Найдём входное сопротивление бесконечного двоичного дерева из одинаковых резисторов $R = 12$ Ом. К входным зажимам подключён первый резистор $R$, после которого цепь разветвляется на две идентичные бесконечные структуры. Обозначим искомое полное сопротивление всей цепи через $R_x$. Каждая из двух параллельных ветвей имеет сопротивление $R_x$. Их эквивалентное параллельное соединение даёт $0.5 R_x$. Составим уравнение баланса сопротивлений: $R_x = R + 0.5 R_x$. Подставим значение $R = 12$ Ом в полученную формулу: $R_x = 12 + 0.5 R_x$. Перенесём слагаемое с неизвестным в левую часть: $0.5 R_x = 12$. Умножив обе части уравнения на два, получаем окончательный ответ: $R_x = 24$ Ом.

Частые ошибки

• Игнорирование бесконечного характера цепи и попытка сложить сопротивления всех элементов напрямую.
• Выбор отрицательного корня при решении получающегося квадратного уравнения.
• Неправильное выделение повторяющегося элементарного звена схемы.

Коротко

Главный принцип того, как найти сопротивление бесконечной цепи, заключается в замене бесконечного хвоста схемы эквивалентным сопротивлением $R_x$. Расчёт сводится к составлению и решению квадратного уравнения для входного звена, в результате чего определяется искомое сопротивление бесконечной цепи.