Вывод уравнения Фурье

Классический вывод уравнения Фурье основывается на фундаментальном законе сохранения энергии и эмпирическом законе теплопроводности. Для элементарного объема сплошной среды составляется тепловой баланс: скорость изменения внутренней энергии равна разности притекающего и уходящего тепловых потоков с учетом внутренних источников энергии. Применяя теорему Остроградского — Гаусса к интегральному балансу и подставляя гипотезу Фурье, получают итоговое дифференциальное уравнение температуропроводности для произвольной области.

$\frac{\partial T}{\partial t} = a \nabla^2 T$

Разбор по случаям

Примеры

Одномерный случай. Рассмотрим однородный тонкий стержень без внутренних источников тепловыделения.

Закон теплопроводности выражается соотношением $q = -\lambda \frac{\partial T}{\partial x}$.

Записывая баланс энергии для элементарного отрезка $dx$, получаем выражение $c \rho \frac{\partial T}{\partial t} dx = -\frac{\partial q}{\partial x} dx$.

Подстановка плотности потока $q$ дает одномерное дифференциальное уравнение $\frac{\partial T}{\partial t} = a \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$, где коэффициент $a = \frac{\lambda}{c \rho}$ называется температуропроводностью.

Трехмерный случай. Для произвольного трехмерного объема $V$ с замкнутой поверхностью $S$ баланс тепла записывается формулой $\int_V c\rho \frac{\partial T}{\partial t} dV = -\int_S (q \cdot n) dS$.

По теореме Остроградского — Гаусса поверхностный интеграл преобразуется в объемный $\int_V \text{div}\, q \, dV$.

Подставляя векторный закон $q = -\lambda \nabla T$, получаем параболическое уравнение $\frac{\partial T}{\partial t} = a \Delta T$ при условии отсутствия внутренних источников тепла.

Учет внутренних источников тепла. Рассчитаем стационарное распределение температуры в стальном стержне длины $L = 0{,}2$ м с теплопроводностью $k = 45$ Вт/(м·К) при наличии внутренних источников тепла мощности $q_v = 10^6$ Вт/м$^3$.

Уравнение Фурье принимает вид $k \frac{d^2 T}{d x^2} + q_v = 0$.

Двукратное интегрирование дает распределение $T(x) = -\frac{q_v x^2}{2 k} + C_1 x + C_2$.

Для граничных условий $T(0) = 300$ К и $T(L) = 300$ К константы равны $C_2 = 300$ К, $C_1 = \frac{q_v L}{2 k} = 2222{,}2$ К/м.

Максимальная температура наблюдается в центре при $x = 0{,}1$ м и составляет $T_{max} = 411{,}1$ К. Этот расчет показывает влияние плотности источникового слагаемого на параболический профиль поля температур внутри проводника.

Частые ошибки

• Путаница между коэффициентом теплопроводности и коэффициентом температуропроводности при вычислении коэффициентов уравнения.
• Забытый знак минус в исходном законе Фурье, указывающий вектор потока в сторону уменьшения температуры.
• Пренебрежение слагаемым внутренних источников тепловыделения при решении задач с объемным тепловыделением.

Коротко

Последовательный вывод уравнения Фурье связывает воедино физический закон сохранения энергии и фундаментальный закон теплопроводности. Данное математическое уравнение позволяет рассчитывать температурные поля в самых разнообразных технических приложениях.