Вывод закона Ома

Вывод закона Ома основан на электронной теории проводимости металлов. Под действием электрического поля свободные электроны приобретают среднюю скорость дрейфа, пропорциональную напряженности поля. Переход от плотности тока к полной силе тока через площадь сечения и выражение напряженности через напряжение дает прямую зависимость. Физический процесс связывает микроскопическое движение зарядов с макроскопическими параметрами цепи: силой тока, напряжением и электрическим сопротивлением.

$I = \frac{U}{R}$

Разбор по случаям

Примеры

Микроскопический вывод. Рассмотрим проводник длиной $L$ и площадью сечения $S$. Плотность тока выражается формулой $j = e n v_d$, где скорость дрейфа $v_d = \frac{e E \tau}{m}$.

Подставляя напряженность $E = \frac{U}{L}$, получаем силу тока $I = j S = \frac{n e^2 \tau S}{m L} U$.

Обозначив величину $\frac{m L}{n e^2 \tau S}$ как сопротивление $R$, получаем искомое соотношение $I = \frac{U}{R}$.

Вывод для полной цепи. Для замкнутого контура полная работа сторонних сил источника с электродвижущей силой $\mathcal{E}$ расходуется на выделение тепла Ленца — Джоуля на внешнем $R$ и внутреннем $r$ сопротивлениях.

Записывая баланс мощности $I \mathcal{E} = I^2 R + I^2 r$ и сокращая на силу тока $I$, получаем математический вывод закона Ома для полной цепи $I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}$.

Переход от дифференциальной формы к интегральной. Рассчитаем силу тока в однородном медном цилиндрическом проводнике длиной $L = 2$ м и площадью сечения $S = 1 \cdot 10^{-6}$ м$^2$. Удельная проводимость меди равна $\sigma = 5.9 \cdot 10^7$ См/м. Приложим напряжение $U = 0.118$ В. Из закона Ома в дифференциальной форме $j = \sigma E$ перейдем к плотности тока $j = I / S$ и напряженности поля $E = U / L$. Подставив связи в уравнение, получим соотношение $I / S = \sigma U / L$. Отсюда сила тока выражается как $I = \sigma S U / L$. Подстановка параметров дает силу тока $I = 3.481$ А.

Сопротивление проводника составляет $R = L / (\sigma S) = 0.0339$ Ом, что точно соответствует интегральной форме закона Ома $I = U / R$.

Частые ошибки

• Путаница между средней термической скоростью хаотического движения электронов и направленной скоростью их дрейфа.
• Забывание внутреннего сопротивления источника при переходе от участка цепи к полной замкнутой цепи.
• Игнорирование зависимости сопротивления проводника от температуры и геометрических размеров при расчетах.

Коротко

Физический вывод этого закона доказывает прямую связь между напряжением и силой тока на основе микроскопических характеристик носителей заряда. Понимая данное доказательство, легко применять полученное соотношение как для отдельных участков, так и для полных электрических цепей.