Что такое расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту прямую.

Что такое расстояние от точки до прямой, показывает формула $d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ для прямой $Ax+By+C=0$ и точки $(x_0,y_0)$.

Среди всех отрезков, соединяющих точку с точками прямой, именно перпендикулярный отрезок самый короткий, поэтому расстояние всегда измеряют именно по нему, а не по наклонной линии.

$d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Разбор по случаям

Примеры

Расстояние от точки до прямой в общем виде. Прямая задана уравнением $y=1$, точку возьмём $M(5,4)$. Перепишем уравнение прямой в общем виде: $0x+1y-1=0$, то есть $A=0$, $B=1$, $C=-1$.

По формуле $d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\dfrac{|0\cdot5+1\cdot4-1|}{\sqrt{0^2+1^2}}=\dfrac{3}{1}=3$ получаем расстояние.

Значит, точка $M$ удалена от прямой на $3$, что видно и без формулы: прямая горизонтальная, а точка выше неё ровно на три единицы.

Расстояние от точки до прямой общего вида. Дана прямая $3x+4y-10=0$ и точка $N(2,3)$.

Вычислим числитель: $3\cdot2+4\cdot3-10=6+12-10=8$, а знаменатель $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.

Расстояние получается $d=8/5=1{,}6$. Такой результат означает, что точка $N$ находится ближе к прямой, чем в первом примере, хотя её координаты и не лежат точно на линии. Так формула помогает сравнивать удалённость разных точек от одной и той же прямой.

Частые ошибки

• Считают расстоянием любой отрезок от точки до прямой, а не именно перпендикулярный, из-за чего число получается больше настоящего.
• Забывают привести уравнение прямой к общему виду $Ax+By+C=0$ перед подстановкой в формулу расстояния.
• Путают числитель формулы с модулем координат точки, забывая подставить именно коэффициенты $A$, $B$, $C$ уравнения прямой.

Коротко

Что такое расстояние от точки до прямой, определяет длина перпендикуляра от точки до линии, вычисляемая по формуле $d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$. Это расстояние всегда наименьшее среди всех отрезков от точки к прямой, поэтому его и используют как меру удалённости.