Как находить площадь кривых фигур

Как находить площадь кривых фигур: для сектора и сегмента круга берут долю от площади целого круга.

Площадь сектора с центральным углом $\alpha$ и радиусом $r$ равна $S = \frac{\alpha}{360^\circ}\pi r^2$.

Площадь сегмента получают, вычитая из площади сектора площадь треугольника: $S = \frac{\alpha}{360^\circ}\pi r^2 - \frac12 r^2\sin\alpha$.

Для сложных кривых фигур без формулы применяют счёт по клеточкам или интеграл, если известна функция границы. Выбор способа зависит от того, дана ли фигура формулой, чертежом с клетками или числовыми параметрами круга.

Разбор по случаям

Примеры

Сектор круга 60°. Радиус окружности $r = 6$ см, центральный угол сектора $\alpha = 60^\circ$.

Площадь сектора равна доле площади всего круга: $S = \frac{60}{360}\cdot\pi\cdot6^2 = \frac16\cdot36\pi = 6\pi \approx 18{,}84$ см².

Сектор занимает ровно шестую часть круга, поскольку 60 градусов — это шестая часть полного оборота в 360 градусов. Если бы угол был вдвое больше, то и площадь сектора выросла бы ровно в два раза при том же радиусе.

Сегмент круга 90°. Радиус окружности $r = 10$ см, центральный угол $\alpha = 90^\circ$.

Площадь сектора: $S_{sec} = \frac{90}{360}\cdot\pi\cdot10^2 = 25\pi \approx 78{,}5$ см².

Площадь треугольника, отсекаемого хордой: $S_{tr} = \frac12\cdot10^2\cdot\sin90^\circ = 50$ см².

Площадь сегмента — разность: $S = 78{,}5 - 50 = 28{,}5$ см². Такой сегмент похож на кусок пиццы без треугольного клина у центра окружности, ведь именно этот клин и вычитают из сектора. Радиус здесь больше, чем в первом примере, поэтому и все связанные площади получаются заметно больше.

Частые ошибки

• Считают сегмент таким же, как сектор, забывая вычесть площадь треугольника.
• Подставляют угол в градусах прямо в формулу без деления на 360, искажая всю пропорцию.
• При счёте по клеточкам путают точки внутри фигуры с точками на самой границе.

Коротко

Итог: Как находить площадь кривых фигур — для сектора и сегмента берут долю площади круга и при необходимости вычитают треугольник. Для сложных фигур без формулы применяют счёт по клеточкам или интеграл по функции границы.