Как находить площадь с помощью периметра

Чтобы понять, как находить площадь с помощью периметра, сначала находят сторону фигуры. Для квадрата: a = P / 4, тогда S = a². Для равностороннего треугольника сторона a = P / 3, а площадь S = (√3/4)·a². Для прямоугольника одного периметра мало — дополнительно нужно знать отношение сторон, иначе система уравнений не решается однозначно. Для правильного n-угольника сторону находят делением периметра на число сторон.

$a = \frac{P}{4}, \quad S = a^2$

Разбор по случаям

Примеры

Квадрат. Периметр квадрата равен $P = 32\text{ см}$, других данных о самой фигуре в условии задачи не требуется вовсе. Сторону находят делением периметра на четыре: $a = \frac{32}{4} = 8$, то есть $a = 8\text{ см}$. Площадь находят возведением найденной стороны в квадрат: $S = 8^2 = 64$, значит $S = 64\text{ см}^2$. Способ работает только потому, что у квадрата все четыре стороны равны между собой изначально, без исключений. Проверка: $\sqrt{64} = 8$, то есть сторона, найденная обратно из площади, совпадает с исходной.

Равносторонний треугольник. Периметр равностороннего треугольника равен $P = 18\text{ см}$, все три его стороны одинаковые по самому определению этой фигуры. Сторону находят делением периметра на три: $a = \frac{18}{3} = 6$, то есть $a = 6\text{ см}$.

Площадь находят по формуле через найденную сторону: $S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = 9\sqrt{3} \approx 15{,}6\text{ см}^2$.

Формула с корнем из трёх подходит только для равностороннего треугольника, а не для произвольного другого треугольника. Проверка: $3 \cdot 6 = 18\text{ см}$ — утроенная сторона равна исходному периметру.

Частые ошибки

• Пытаются найти площадь прямоугольника по одному периметру без отношения его сторон.
• Делят периметр треугольника на четыре, как для квадрата, вместо деления на три.
• Забывают множитель корень из трёх, делённый на четыре, в формуле площади треугольника.

Коротко

Как находить площадь с помощью периметра, работает только для фигур с равными или заданными по отношению сторонами. Сначала из периметра получают сторону фигуры, а затем подставляют найденное значение в обычную формулу площади для этой фигуры.