Как найти длину диагонали прямоугольника

Ответ на вопрос, как найти длину диагонали прямоугольника, зависит от известных из условия задачи величин. Чаще всего применяют теорему Пифагора, рассматривая прямоугольный треугольник, образованный двумя смежными сторонами и гипотенузой-диагональю. Если известны длины сторон $a$ и $b$, то длина диагонали прямоугольника вычисляется как квадратный корень из суммы их квадратов. В иных случаях используют площади, периметр или угол между диагоналями.

$d = \sqrt{a^2 + b^2}$

Разбор по случаям

Примеры

Заданы стороны прямоугольника. Дано: прямоугольник со сторонами $a = 6$ см и $b = 8$ см. Найти диагональ $d$. Решение: по теореме Пифагора искомая величина равна корню из суммы квадратов двух сторон.

Подставим значения: $d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: длина диагонали прямоугольника равна $10$ см.

Заданы периметр и одна сторона. Дано: периметр прямоугольника $P = 28$ см, сторона $a = 6$ см. Найти диагональ $d$.

Решение: сначала находим неизвестную сторону $b = \frac{P}{2} - a = 14 - 6 = 8$ см.

Затем вычисляем диагональ фигуры по формуле: $d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$ см.

Ответ: диагональ равна $10$ см.

Заданы сторона и угол между этой стороной и диагональю. Условие задачи: длина стороны прямоугольника равна $a = 6$ см, а угол между этой стороной и его диагональю составляет $60^\circ$. Требуется вычислить длину диагонали $d$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный смежными сторонами и диагональю. В нем диагональ $d$ выступает гипотенузой, а сторона $a$ — прилежащим катетом.

Из определения косинуса острого угла следует отношение: $\cos(60^\circ) = \frac{a}{d}$.

Значение косинуса угла в $60^\circ$ равно $0.5$. Подставим числовые данные в формулу: $0.5 = \frac{6}{d}$. Находим гипотенузу: $d = \frac{6}{0.5} = 12$ см. Ответ: длина диагонали $12$ см.

Частые ошибки

• Складывание длин сторон вместо суммы их квадратов при использовании теоремы Пифагора.
• Забывание извлечь квадратный корень из полученного результата на финальном шаге вычислений.
• Путаница между полупериметром и полным периметром прямоугольника при поиске неизвестной стороны.

Коротко

В большинстве задач длина диагонали прямоугольника находится с помощью теоремы Пифагора через квадратный корень из суммы квадратов его сторон. Теперь вы знаете, как найти длину диагонали прямоугольника в разных школьных задачах.