Как найти длину разности векторов

Чтобы понять, как найти длину разности векторов, нужно определиться с исходными данными задачи.

Если заданы координаты векторов $\vec{a}(x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b}(x_2, y_2, z_2)$, то длина разности векторов находится по формуле $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}$.

Если известны длины векторов и угол $\varphi$ между ними, применяют формулу $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi}$.

Разбор по случаям

Примеры

Расчёт по координатам. Дано: векторы $\vec{a}(5, -1, 4)$ и $\vec{b}(2, 3, 4)$.

Решение: вычтем координаты второго вектора из первого: $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b} = (5-2, -1-3, 4-4) = (3, -4, 0)$.

Найдём длину полученного вектора разности по формуле модуля: $|\vec{c}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: искомая длина разности векторов равна 5.

Расчёт по модулям и углу. Дано: $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 8$, угол $\varphi = 60^\circ$.

Решение: используем формулу с косинусом: $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos 60^\circ$.

Подставим известные значения: $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot 0.5 = 9 + 64 - 24 = 49$.

Извлекаем корень: $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{49} = 7$.

Ответ: искомая длина разности векторов равна 7.

Расчёт через скалярное произведение. Даны два вектора с длинами $a = 4$ и $b = 6$, причем их скалярное произведение известно и равно $p = 9$. Требуется вычислить точную длину разности заданных векторов. Для решения задачи раскрываем скалярный квадрат разности векторов. Длина разности выражается через квадраты модулей и скалярное произведение по формуле $d = \sqrt{a^2 + b^2 - 2p}$.

Подставляем исходные числовые данные в формулу: $d = \sqrt{4^2 + 6^2 - 2 \cdot 9}$.

Вычисляем значения квадратов и произведения под знаком квадратного корня: $4^2 = 16$, $6^2 = 36$, $2 \cdot 9 = 18$. Выполняем арифметические действия: $16 + 36 - 18 = 34$. Искомый модуль разности равен $\sqrt{34}$.

Частые ошибки

• Ошибочное вычитание длин векторов $|\vec{a}| - |\vec{b}|$ вместо вычисления модуля разностного вектора.
• Замена знака минус перед удвоенным произведением на плюс, из-за чего рассчитывается длина суммы, а не разности.
• Невнимательность при подстановке координат, приводящая к путанице знаков внутри квадрата разности.

Коротко

Мы детально рассмотрели, как найти длину разности векторов с использованием координат и геометрических свойств. В зависимости от исходных данных применяют формулу расстояния между точками или теорему косинусов для нахождения модуля разности.