Как найти длину суммы векторов

Чтобы понять, как найти длину суммы векторов, определяем способ задания исходных данных. Если заданы координаты элементов, сначала складываем соответствующие компоненты, а затем находим модуль полученного вектора как квадратный корень из суммы квадратов его координат. Если известны модули исходных векторов и угол между ними, длина суммы векторов вычисляется по теореме косинусов через формулу модуля суммы.

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \quad \text{или} \quad |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha}$

Разбор по случаям

Примеры

Расчет по координатам. Дано: векторы $\vec{a}(3, -1)$ и $\vec{b}(1, 4)$.

Решение: сначала находим координаты суммы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (3 + 1, -1 + 4) = (4, 3)$.

Вычисляем модуль полученного вектора по формуле квадратного корня из суммы квадратов его компонент: $|\vec{c}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: модуль итогового вектора равен $5$.

Расчет через теорему косинусов. Дано: $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 5$, угол между ними $\alpha = 60^\circ$.

Решение: применяем формулу модуля суммы двух векторов: $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos 60^\circ}$.

Подставляем значения: $\sqrt{3^2 + 5^2 + 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 0{,}5} = \sqrt{9 + 25 + 15} = \sqrt{49} = 7$.

Ответ: искомая длина итогового вектора равна $7$.

Расчет для противоположно направленных векторов. Даны два противоположно направленных вектора. Длина первого вектора составляет $a = 12$ единиц, а длина второго вектора равна $b = 5$ единицам. Угол между данными векторами составляет $\alpha = 180^\circ$. Требуется вычислить длину суммы этих векторов. Так как векторы направлены в противоположные стороны, длина их суммы вычисляется путем вычитания меньшей длины из большей. Используем соответствующую формулу $c = a - b$, где буква $a$ обозначает длину большего вектора, а буква $b$ обозначает длину меньшего вектора. Подставляем числовые данные: $c = 12 - 5 = 7$. Искомая длина суммы векторов равна $7$.

Частые ошибки

• Простое сложение длин векторов без учета угла между ними приводит к ошибочному результату.
• Использование знака минус перед удвоенным произведением в формуле длины суммы вместо знака плюс.
• Сложение координат с некорректным учетом знаков отрицательных компонент векторов.

Коротко

Знание того, как найти длину суммы векторов, позволяет правильно решать задачи координатным или геометрическим методом. Итоговая длина суммы векторов зависит от правильного выбора между теоремой косинусов и сложением компонент.