Как найти косинус угла между векторами

Разберёмся, как найти косинус угла между векторами в геометрии и алгебре. Чтобы вычислить косинус угла между векторами, необходимо разность или произведение их составляющих применить в стандартной формуле. Для этого нужно разделить скалярное произведение этих векторов на произведение их длин. Если заданы координаты a(x1, y1, z1) и b(x2, y2, z2), то ключевой косинус угла между векторами находится как отношение суммы произведений одноимённых координат к произведению модулей этих векторов.

$\cos\alpha = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$

Разбор по случаям

Примеры

На плоскости. Даны векторы $\vec{a}(3, 4)$ и $\vec{b}(4, 3)$.

Найдём их скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 = 24$.

Длины векторов равны $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ и $|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.

Вычисляем косинус угла между векторами: $\cos\alpha = \frac{24}{5 \cdot 5} = \frac{24}{25} = 0{,}96$.

Задача решена верно.

В пространстве. Даны векторы $\vec{a}(1, 2, 2)$ и $\vec{b}(2, -1, 2)$.

Вычислим скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 = 2 - 2 + 4 = 4$.

Найдем длины: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$ и $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = 3$.

Искомый косинус угла между векторами равен $\cos\alpha = \frac{4}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9}$.

По координатам точек. Найдем косинус угла между векторами $AB$ и $CD$, если заданы координаты точек: $A(1, 2)$, $B(4, 6)$, $C(0, 0)$ и $D(3, 0)$. Сначала вычислим координаты самих векторов, вычитая из точек конца координаты начала. Вектор $AB$ имеет координаты $(3, 4)$, а вектор $CD$ равен $(3, 0)$. Длина первого отрезка составляет корень из суммы квадратов трех и четырех, то есть пять. Модуль второго равен трем. Скалярное произведение находим перемножением соответствующих значений: три на три плюс четыре на ноль, что дает девять. Делим скалярное произведение на произведение найденных длин, то есть девять на пятнадцать. Получаем значение косинуса ноль целых шесть десятых.

Частые ошибки

• Ошибка в знаках при умножении отрицательных координат векторов.
• Путаница между скалярным произведением векторов и сложением их длин.
• Забытое извлечение квадратного корня при вычислении модуля вектора.

Коротко

Теперь вы отлично знаете, как найти косинус угла между векторами с помощью координатного метода или скалярного произведения. Правильный расчёт длин и аккуратное перемножение координат гарантируют верный результат при решении любой геометрической задачи.